中学2年数学 / 授業
確率
1. 場合の数
数え漏れと重複を防ぐには、最初に何を区別するかを決めます。順番を区別する場合と、組合せだけを選ぶ場合では答えが変わります。
基本事項
樹形図や表で、1つ目の選択を固定してから2つ目を数える。
解き方・考え方
1. 順番を区別するか確認
2. 一定の順序で列挙
3. 重複を点検
4. 全体を合計
例題と解き方
A、B、Cの3人から委員2人を選ぶ方法と、委員長・副委員長を1人ずつ選ぶ方法は？
① 委員2人ならAB、AC、BCの3通り。ABとBAは同じ組。
② 役職が違うならAB、AC、BA、BC、CA、CBの6通り。
③ 委員長3通りそれぞれに副委員長2通りなので3×2=6。
④ 順番や役割を区別するかが答えを変える。
自分で確かめる
数字1、2、3を重複せず使う2桁の整数は何個？
解答・確かめ方
12、13、21、23、31、32の6個。
間違えやすいところ
選ぶ順を変えただけの同じ組を重複して数えないこと。
2. 同様に確からしい結果
どの結果も同じ程度に起こると考えられるとき、結果の個数の比で確率を計算できます。結果をまとめると、等確率ではなくなることがあります。
基本事項
公平なさいころの各目は同様に確からしいが、2個のさいころの和2〜12は同様に確からしくない。
解き方・考え方
1. 基本となる結果を決める
2. 各結果の起こりやすさを確認
3. 等確率な結果で表を作る
4. 条件を満たす結果を数える
例題と解き方
2個の公平なさいころで、和が2と和が7は同じ確率か。
① さいころを大小などで区別し、(大,小)の36通りを考える。
② 和2は(1,1)の1通り。
③ 和7は(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)の6通り。
④ それぞれ1/36と6/36=1/6で、同じではない。
自分で確かめる
公平な硬貨2枚で「表0枚・1枚・2枚」は等確率か。
解答・確かめ方
違う。裏裏、表裏、裏表、表表の4通りから、確率は1/4、1/2、1/4。
間違えやすいところ
「出る値が11種類だから1/11」としないこと。基本の結果に分けて数えます。
3. 確率の求め方
確率は起こりやすさを0から1までの数で表したものです。分母には条件を満たすものだけでなく、起こりうる全結果を入れます。
基本事項
同様に確からしいn通りのうち条件を満たすものがm通りなら、確率はm/n。
解き方・考え方
1. 全結果を数える
2. 条件を満たす結果を数える
3. 分数にする
4. 約分し0〜1に収まるか確認
例題と解き方
1〜8の番号のカードから無作為に1枚引く。3の倍数を引く確率は？
① 全部で8通り。各カードは同じ確率で選ばれる。
② 3の倍数は3と6の2通り。
③ 確率は2/8=1/4。
④ 0と1の間にあり、2枚/8枚という割合とも一致する。
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公平なさいころで2以上5以下の目が出る確率は？
解答・確かめ方
2、3、4、5の4通りなので4/6=2/3。
間違えやすいところ
「以上・以下」は端の値を含みます。「より大きい・より小さい」と区別します。
4. 余事象
「少なくとも1つ」という条件は、直接数えると場合分けが増えます。反対の「1つもない」を引く方が簡単なことがあります。
基本事項
あることが起こる確率=1−それが起こらない確率。2つが重ならず全体を尽くす必要がある。
解き方・考え方
1. 条件の反対を言葉にする
2. 反対の場合を数える
3. 全体の1から引く
4. 直接数えても一致するか確認
例題と解き方
公平な硬貨3枚を投げ、少なくとも1枚表になる確率を求める。
① 全結果は2×2×2=8通り。
② 反対は3枚とも裏で、1通り。
③ 求める確率は1-1/8=7/8。
④ 表1枚、2枚、3枚の場合を合わせても7通り。
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さいころ2個で少なくとも1個が6になる確率は？
解答・確かめ方
6が出ないのは5×5=25通り。1-25/36=11/36。
間違えやすいところ
「少なくとも1枚」の反対は「全て裏」です。「全て表」ではありません。
5. 複数回の試行
取り出したものを戻すか戻さないかで、次に起こりうる結果が変わります。毎回の選択肢を樹形図で確認すると整理できます。
基本事項
順番を区別して結果を数える。戻さない場合は2回目の全体数や条件に合う数が減る。
解き方・考え方
1. 戻す条件を確認
2. 1回目の結果を分岐
3. それぞれの2回目を分岐
4. 条件に合う枝と全枝を比較
例題と解き方
赤2個・白1個の同じ形の玉から、戻さず2個順に取り出す。両方赤の確率は？
① 玉を赤A、赤B、白Cと区別すると順序付きで3×2=6通り。
② 両方赤はABとBAの2通り。
③ 確率は2/6=1/3。
④ 戻す場合は3×3=9通りのうち赤赤4通りで4/9となり、答えが変わる。
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同じ袋から戻さず2個取り出し、色が異なる確率は？
解答・確かめ方
AC、CA、BC、CBの4通りなので4/6=2/3。
間違えやすいところ
同じ色でも玉そのものは区別して等確率な結果を数えます。赤赤・赤白・白赤を一律1/3にしないこと。