中学数学 / 中3 / 関数 y＝ax²
関数 y＝ax²｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜面積条件から係数
y＝ax²（a＞0）上の点Aのx座標は−2、Bのx座標は4。△OABの面積が24cm²となるaを求めなさい。1目盛り1cm。
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直線ABはy＝2ax＋8a。y軸で分ける。
解答・解説
A(−2,4a),B(4,16a)、y切片8a。面積(2＋4)×8a/2＝24a。24a＝24よりa＝1。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜同じ面積の動点
A(−2,4),B(2,4)、O(0,0)。Pはy＝x²上を動く。△ABPの面積が△ABOと等しくなるPをすべて求めなさい。
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底辺ABは共通なので直線y＝4からの距離が4。
解答・解説
y＝0または8。放物線上ではP(0,0)、(2√2,8)、(−2√2,8)。PはOも許されるため3点。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜交点が指定される直線
y＝x²とy＝mx＋6がx＝−2の点で交わる。m、もう1つの交点、2交点間の距離を求めなさい。1目盛り1cm。
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まず4＝−2m＋6。
解答・解説
m＝1。x²−x−6＝0から他方x＝3、y＝9。差は横5、縦5なので距離5√2cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜変域から区間を決める
y＝x²、t≦x≦t＋2でt≧0。yの最大値と最小値の差が20になるtを求めなさい。
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この範囲では単調増加。
解答・解説
(t＋2)²−t²＝20、4t＋4＝20よりt＝4。xは4〜6、yは16〜36。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜長方形の頂点
放物線y＝x²上の同じ高さの2点と、それぞれからx軸に下ろした足で長方形を作る。高さが横幅の2倍になる正の高さを求めなさい。
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右上のx座標をt＞0とすると幅2t、高さt²。
解答・解説
t²＝4t、t(t−4)＝0。t＞0よりt＝4、高さ16。幅8で確かめられる。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜2つの動きを比較
Aの移動距離は出発t秒後にt² m、Bは同じ場所を2秒後に出発し毎秒6mで進む。t≧2で同じ距離になる時刻はあるか。
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t²＝6(t−2)。
解答・解説
t²−6t＋12＝0、(t−3)²＋3＝0で実数解なし。差は常に正なのでBはAに追いつかない。