中学2年数学 / 授業
平行と合同
1. 対頂角・同位角・錯角
交わる2直線の対頂角は、平行でなくても等しくなります。一方、同位角や錯角が等しいという性質は2直線が平行という条件で使います。
基本事項
対頂角は等しい。平行線では同位角・錯角がそれぞれ等しい。逆にそれらが等しければ平行。
解き方・考え方
1. どの2直線と横切る線を使うか確認
2. 平行の印を確認
3. 角の位置関係を特定
4. 等しい理由を付けて求める
例題と解き方
平行な2直線を1本の線が横切る。1つの角が68°のとき、その錯角と、元の角に隣り合う角は？
① 平行線の錯角は等しいので68°。
② 元の角と隣り合う角は一直線の180°を作る。
③ 180-68=112°。
④ 「錯角」と「隣り合う角」を別々の根拠で処理している。
自分で確かめる
平行線の同位角が3x+10°と70°ならxは？
解答・確かめ方
3x+10=70 よりx=20。
間違えやすいところ
平行の条件がない図で、同位角だから等しいとはいえません。対頂角との違いを意識します。
2. 三角形の角
三角形の角は、頂点を通る平行線を引くと一直線の角に集められます。このため内角の和は180°となります。
基本事項
内角の和180°。外角は、隣り合わない2つの内角の和。
解き方・考え方
1. 内角か外角か確認
2. 既知の角を図へ記入
3. 内角の和または外角の性質で立式
4. 合計180°で検算
例題と解き方
三角形の2つの内角が47°、68°。残る内角と、その外角を求めなさい。
① 残る内角は180-47-68=65°。
② 外角は180-65=115°。
③ 47+68=115°としても求められる。
④ 内角65°と外角115°の和が180°であることを確認する。
自分で確かめる
頂角40°の二等辺三角形の底角は？
解答・確かめ方
2つの底角は等しいので(180-40)/2=70°。
間違えやすいところ
外角を内角の和180°にそのまま足さないこと。外角と隣の内角が補い合う関係を使います。
3. 多角形の角
1つの頂点から対角線を引くと、n角形はn-2個の三角形に分かれます。内角の和はこの個数から導けます。
基本事項
n角形の内角の和は180(n-2)°。凸多角形の外角の和は360°。正多角形の外角1つは360/n°。
解き方・考え方
1. 辺の数nを数える
2. 和を求めるのか1つの角か区別
3. 正多角形なら等分する
4. 内角と外角の和180°で確認
例題と解き方
正八角形の内角1つと外角1つを求めなさい。
① 内角の和は180×(8-2)=1080°。
② 正八角形なので1080÷8=135°。
③ 外角は180-135=45°。
④ 外角の和でも360÷8=45°と確認できる。
自分で確かめる
内角の和が900°の多角形は何角形？
解答・確かめ方
180(n-2)=900 よりn-2=5、n=7。七角形。
間違えやすいところ
一般の多角形では、内角の和を辺の数で割っても各角は求まりません。等角という条件が必要です。
4. 三角形の合同条件
合同を示せれば、まだ測っていない対応する辺や角も等しいといえます。証明では必要な条件だけをそろえます。
基本事項
3組の辺／2組の辺とその間の角／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
解き方・考え方
1. 対応する頂点を決める
2. 与えられた等しさを列挙
3. 3つの合同条件のどれを満たすか選ぶ
4. 対応順に合同の記号を書く
例題と解き方
AB=DE、AC=DF、∠BAC=∠EDF のとき、△ABCと△DEFが合同である理由は？
① ABとACはAで交わる2辺。DEとDFはDで交わる2辺。
② 与えられた角はそれぞれ2辺の間の角。
③ 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△DEF。
④ 対応からBC=EF、∠ABC=∠DEFもいえる。
自分で確かめる
3組の角が等しい2つの三角形は必ず合同か？
解答・確かめ方
合同とは限らない。形が同じでも大きさが違う場合がある。
間違えやすいところ
2辺とどこかの角が等しいだけでは、この合同条件を満たしません。「その間」を確認します。
5. 仮定・結論・証明
仮定は問題で与えられた事実、結論はこれから示す事実です。結論を途中で根拠に使うと循環した説明になってしまいます。
基本事項
証明は「根拠のある等しさ → 合同条件 → 合同 → 結論」の順に書く。
解き方・考え方
1. 仮定と結論を分ける
2. 比べる三角形を宣言
3. 等しい辺・角を理由付きで列挙
4. 合同から結論を導く
例題と解き方
AB=ACの二等辺三角形でDはBCの中点。AD⊥BCを証明しなさい。
① △ABDと△ACDにおいてAB=AC（仮定）、BD=CD（中点）、AD=AD（共通）。
② 3組の辺がそれぞれ等しいので合同。
③ ∠ADB=∠ADC。2つの角の和は180°なので各90°。
④ したがってAD⊥BC。
自分で確かめる
上の証明で、最初から∠ADB=90°と置いてよいか？
解答・確かめ方
いけない。直角であることは示したい結論で、仮定ではない。
間違えやすいところ
図の見た目が等しい・直角という理由は根拠になりません。仮定、共通、定理などの理由を書きます。