中学2年数学 / 授業
式の計算
1. 単項式と多項式
式を項に分けると、何をまとめられるかが見えてきます。項の符号も含めて読み、文字の部分が同じかどうかを調べます。
基本事項
項は加法で区切られるまとまり。同類項は文字の部分が同じ項。単項式の次数は掛け合わされた文字の個数、多項式の次数は各項の次数の最大。
解き方・考え方
1. 引き算を負の項の加法と見る
2. 係数と文字部分を分ける
3. 同じ文字部分の項を探す
4. 次数は指数の合計で読む
例題と解き方
3x²y-2xy+5 は何次式か。各項の次数も答えなさい。
① 項は3x²y、-2xy、5。
② x²yはx×x×yなので3次、xyは2次、定数項5は0次。
③ 最大が3なので、この多項式は3次式。
④ 3x²yと-2xyは文字部分が違い、まとめられない。
自分で確かめる
4a²b と -3ab² は同類項か。また -x の係数は？
解答・確かめ方
同類項ではない。指数の位置が違う。-xの係数は-1。
間違えやすいところ
文字が同じ種類でも、指数まで一致しなければ同類項ではありません。係数は次数に数えません。
2. 多項式の加法・減法
同じ種類の量だけをまとめる点は、中1の一次式と同じです。かっこの前がマイナスなら、式全体を引くので中のすべての符号が変わります。
基本事項
加法はかっこを外して同類項をまとめる。減法は引く多項式の各項の符号を変えて加える。
解き方・考え方
1. かっこの前の符号を確認
2. 各項の符号を書き直す
3. 同類項を近くに並べる
4. 係数を計算し、次数の順に整理
例題と解き方
(3x²+2x-4)-(x²-5x+6) を計算しなさい。
① 3x²+2x-4-x²+5x-6。引く式の3項すべての符号を変えた。
② (3-1)x²+(2+5)x+(-4-6)。
③ 答えは2x²+7x-10。
④ x=1なら元の式は1-2=-1、答えも2+7-10=-1で一致する。
自分で確かめる
(2a²-3a+1)+(a²+4a-5) を計算しなさい。
解答・確かめ方
3a²+a-4。a²、a、数の項をそれぞれまとめる。
間違えやすいところ
x²とxを足してx³にはできません。加法の計算と文字の乗法を混同しないようにします。
3. 単項式の乗法・除法
係数と文字を分ければ、複雑な積や商も小さな計算に分けられます。指数は同じ文字を掛けた個数を数えて整理します。
基本事項
x²×x³=x⁵。割り算は逆数を掛ける形にし、係数と文字を約分する。分母は0でない。
解き方・考え方
1. 符号を決める
2. 係数を計算
3. 文字を掛け合わせて約分
4. 指数と符号を再確認
例題と解き方
(-6a²b)×(2ab²)÷(3ab) を計算しなさい。
① 係数は(-6)×2÷3=-4。
② a²×a÷a=a²。b×b²÷b=b²。
③ 答えは-4a²b²。
④ 元の式の分母3abが0でない条件のもとで計算している。
自分で確かめる
(12x²y)÷(-3xy) を計算しなさい。
解答・確かめ方
-4x。係数は-4、xは1個残り、yは約分される（xy≠0）。
間違えやすいところ
割り算を先にまとめて括ると式の意味が変わることがあります。乗除は左から順に、または分数に直して処理します。
4. 式の値
複雑な式へすぐ数を入れるより、同類項をまとめてから代入すると計算量と符号の誤りを減らせます。
基本事項
式を簡単にしてから代入する。負の数はかっこで囲み、累乗の底をはっきりさせる。
解き方・考え方
1. 展開と同類項の整理
2. 指定された数をすべての文字へ代入
3. 累乗・乗除・加減の順に計算
4. 別の方法や概算で確認
例題と解き方
x=-2、y=3 のとき、3(2x-y)-2(x-2y) の値を求めなさい。
① 展開すると6x-3y-2x+4y=4x+y。
② x=-2、y=3を代入して4×(-2)+3。
③ -8+3=-5。
④ 元の式に入れても3×(-7)-2×(-8)=-21+16=-5。
自分で確かめる
a=-3のとき、2a²-3a の値は？
解答・確かめ方
2×(-3)²-3×(-3)=18+9=27。
間違えやすいところ
2a²にa=-3を代入した結果は2×9であり、(-6)²ではありません。
5. 文字式による説明
具体的な数で確かめることと、いつでも成り立つと示すことは異なります。文字で一般の整数を表し、結論となる形を作ります。
基本事項
偶数は2n、奇数は2n+1（nは整数）。異なる整数を表す場合は必要に応じて別の文字を使う。
解き方・考え方
1. 文字の意味を定める
2. 求める和や差を式にする
3. 整理して倍数などの形にする
4. 整数である理由と結論を述べる
例題と解き方
2つの奇数の和が偶数になることを説明しなさい。
① 整数m、nを用いて2つの奇数を2m+1、2n+1とおく。
② 和は(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2。
③ 2(m+n+1)とくくる。
④ m+n+1は整数なので、和は2の倍数、すなわち偶数である。
自分で確かめる
連続する3つの整数の和が3の倍数になることを説明しなさい。
解答・確かめ方
n、n+1、n+2とすると和は3n+3=3(n+1)。n+1は整数なので3の倍数。
間違えやすいところ
任意の2つの奇数を両方2n+1と置くと、同じ数しか表せなくなります。連続する条件があるかも確認します。
6. 等式の変形
目的の文字だけを左辺に残す操作は、一次方程式を解くことと同じです。ほかの文字は決まった数と同じように扱います。
基本事項
両辺に同じ数・式を加減する、同じ0でない数・式で乗除する。割る式は0でないことが必要。
解き方・考え方
1. どの文字について解くか確認
2. その文字を含む項を残す
3. 係数で両辺を割る
4. 元の等式へ戻るか確認
例題と解き方
S=(a+b)h/2 をhについて解きなさい（a+b≠0）。
① 両辺を2倍して2S=(a+b)h。
② 両辺をa+bで割る。
③ h=2S/(a+b)。分母はa+b全体。
④ a=3、b=5、S=20ならh=5で、(3+5)×5/2=20。
自分で確かめる
v=a+bt をtについて解きなさい（b≠0）。
解答・確かめ方
v-a=bt よりt=(v-a)/b。分子全体がv-a。
間違えやすいところ
分子や分母のかっこを落とすと別の式になります。目的の文字の項が複数ある場合は、先にまとめます。