中学数学 / 文字と式 / 授業
文字と式
1. 文字を使った表し方
同じ値段の商品を何個買うかが変わっても、1本の式で代金を表せます。文字は「まだ分からない数」だけでなく「いろいろ変わる数」にも使います。
基本事項
積では×を省略し数を文字の前へ、同じ文字の積は累乗へ。商は分数へ直します。a×1＝a、a×(−1)＝−a、a×a＝a²。
解き方・考え方
① 掛け算と割り算の関係を確認。
② 数・文字の順に整理。
③ 和全体に掛けるときはかっこを残す。
例題
a×(−5)、x×x×3、(a＋b)÷4を文字式の書き方で表しなさい。
解答・解説
順に−5a、3x²、(a＋b)/4です。最後はaとbの合計全体を4で割ります。a＋b/4では意味が違います。
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a×a×a、y÷(−6)、(x＋2)×3を表しなさい。
確認問題の解答
a³、−y/6、3(x＋2)。
間違えやすいところ
2aは2×aであり「2桁の数2a」ではありません。文字どうしは普通アルファベット順に書きます。
2. 数量の表現
いきなり文字で考えにくいときは、具体的な数で計算して、その数を文字に戻しましょう。式には何の量なのかを示す単位も必要です。
基本事項
代金＝単価×個数、道のり＝速さ×時間、割合の量＝もとの量×割合。時間や長さの単位はそろえます。
解き方・考え方
① 求める量を言葉の式にする。
② 数値例で確かめる。
③ 文字に置き換え、単位と条件を書く。
例題
時速a kmで30分進む道のりと、定価b円の品物を20％引きで買う代金を表しなさい。
解答・解説
30分＝1/2時間なのでa/2 km。20％引きでは80％を払うので0.8b円です。割引額0.2b円と支払う額を区別します。
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1冊x円のノート3冊と150円のペン1本を買い、1000円を出したおつりは？
確認問題の解答
1000−(3x＋150)＝850−3x 円です。代金全体を引くためにかっこを使います。
間違えやすいところ
時速に分をそのまま掛けないこと。「aの30％」は30aでなく0.3aです。
3. 式の値
文字に数を入れて計算した結果が式の値です。特に負の数を代入するときは、かっこで囲むと符号の間違いを防げます。
基本事項
文字を数に置き換えることを代入といいます。代入後も、かっこ・累乗・乗除・加減の計算順を守ります。
解き方・考え方
① すべての同じ文字に同じ数を入れる。
② 負の数にはかっこを付ける。
③ 累乗を計算してから掛け算へ。
例題
x＝−3のとき、2x²−5x−4の値を求めなさい。
解答・解説
2×(−3)²−5×(−3)−4＝2×9＋15−4＝29。x²＝9で、−5x＝＋15になるところを別々に確認します。
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a＝−2、b＝5のとき、3a−2bの値は？
確認問題の解答
3×(−2)−2×5＝−6−10＝−16です。
間違えやすいところ
2x²にx＝−3を入れて(−6)²にしてはいけません。2は2乗の外にあります。
4. 一次式の計算
3x＋2xを5xにできるのは、xが3個と2個で合計5個だからです。xの項と数だけの項は種類が違うので、ひとまとめにはできません。
基本事項
＋で結ばれたそれぞれを項、文字に掛けられた数を係数といいます。−xの係数は−1。一次式どうしの計算では同じ文字の項をまとめます。
解き方・考え方
① 減法を符号付きの加法として読む。
② かっこの前の負号は中の全項に掛ける。
③ 文字の項と数の項を別々にまとめる。
例題
2(3x−4)−(x−5)を簡単にしなさい。
解答・解説
6x−8−x＋5＝5x−3。−(x−5)は−x＋5です。x＝2を元の式と答えの両方へ代入すると、どちらも7になり確認できます。
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(8x−12)÷4 と (5a−2)−(2a＋6)を簡単にしなさい。
確認問題の解答
2x−3、3a−8です。割り算もかっこの中の全項へ作用します。
間違えやすいところ
3x＋2は5xではありません。3x×2は6x、3x＋2xは5xと、演算を区別しましょう。
5. 等式・不等式と式の意味
式を作るだけでなく、式を見て場面を言葉で説明する力も大切です。「何と何を比べているか」を左右それぞれで確かめます。
基本事項
等しい関係は＝、大小は＜・＞・≦・≧で表します。「以上・以下」は等しい場合を含みます。「未満」は含みません。
解き方・考え方
① 左右の量を同じ単位で表す。
② 等しいのか大小かを選ぶ。
③ 境界の値を含むか確かめる。
例題
1冊a円のノート4冊と200円のファイルの合計が1000円以下です。不等式で表しなさい。
解答・解説
合計は4a＋200円なので4a＋200≦1000。「以下」だからちょうど1000円も許されます。これは関係を表す課題で、今はaを解く必要はありません。
自分で確かめる
大人料金x円、子ども料金y円の施設で、2x＋3y＝2500は何を表しますか。
確認問題の解答
大人2人と子ども3人の料金の合計が2500円であることです。
間違えやすいところ
不等式を作る段階で、中2以降の計算規則を無理に使う必要はありません。各項が表す数量を説明できるようにしましょう。