中学数学 / 空間図形 / 授業
空間図形
1. 立体と位置関係
立体の見取図は平面上に描くため、交わって見えても実際には交わらない辺があります。図の見た目でなく、同じ平面上かどうかを確かめます。
基本事項
空間の2直線は交わる・平行・ねじれの位置に分かれます。ねじれの位置は同一平面上になく、交わらず平行でもない関係です。
解き方・考え方
① 辺を含む直線として考える。
② 交点があるか確認。
③ 平行でも交わる関係でもなければ、同一平面上かを確認する。
例題
下の直方体で、ABとEF、ABとAE、ABとCGの位置関係を答えなさい。
解答・解説
ABとEFは平行。ABとAEはAで垂直に交わります。ABとCGは交わらず平行でもなく、ねじれの位置です。
自分で確かめる
上面ABCDに垂直な辺と、上面に平行な面を答えなさい。
確認問題の解答
辺AE・BF・CG・DH。平行な面はEFGHです。
間違えやすいところ
直線が平面内の1本の直線と直角に交わるだけでは、その平面に垂直とは限りません。交点を通る平面内の2本の交わる直線と垂直であることを使います。
2. 見取図・展開図・投影図
見取図は立体全体、展開図は面のつながり、投影図は見る方向ごとの形を表します。目的に合わせて図を使い分けましょう。
基本事項
投影図の正面から見た図を立面図、真上から見た図を平面図といいます。展開図では、組み立てると重なる辺の長さが一致します。
解き方・考え方
① 見る方向を決める。
② 見える輪郭を確認。
③ 展開図は同じ辺へ印を付け、重なる辺を対応させる。
例題
底面半径3cm、高さ5cmの円柱を側面で切り開きました。側面の長方形の縦と横の長さは？
解答・解説
縦は高さ5cm、横は底面の円周2π×3＝6πcm。横を直径6cmにしないことが大切です。
自分で確かめる
軸を鉛直にした円柱を正面と真上から見ると、それぞれどんな形？
確認問題の解答
正面は長方形、真上は円です。
間違えやすいところ
投影図1枚だけでは立体が一意に決まらないことがあります。展開図の絵に定規を当てて長さを決めず、与えられた条件を使います。
3. 回転体と切り口
平面図形を軸のまわりに1回転させると、各点が円を描いて立体になります。軸に接する辺は高さに、軸からの距離は半径になります。
基本事項
長方形を1辺のまわりに回すと円柱。直角三角形を直角をはさむ1辺のまわりに回すと円すい。半円を直径のまわりに回すと球になります。
解き方・考え方
① 回転の軸に印を付ける。
② 軸からいちばん遠い点を確認。
③ 半径と高さを言葉で特定してから計算する。
例題
縦5cm、横2cmの長方形を縦の辺のまわりに回転させます。できる立体と寸法を答えなさい。
解答・解説
半径2cm、高さ5cmの円柱です。横の辺を軸にすれば半径5cm、高さ2cmになり、同じ立体にはなりません。
自分で確かめる
円柱を底面に平行な平面で切るとどんな形ですか。球を中心を通る平面で切ると？
確認問題の解答
どちらも円です。球の切り口の半径は、中心を通る場合に球の半径と等しくなります。
間違えやすいところ
切り口がいつも底面と同じとは限りません。円すいを底面に平行に切ると円ですが、頂点に近いほど小さくなります。
4. 表面積
表面積は外側に見える面の面積の合計です。底面と側面を分け、展開図に戻して数えれば、面の足し忘れを防げます。
基本事項
円柱：2πr²＋2πrh。円すい：πr²＋πrl（lは母線）。球：4πr²。円すいの側面のおうぎ形は、半径が母線、弧が底面の円周です。
解き方・考え方
① 面を分ける。
② 底面の枚数・ふたの有無を確認。
③ 各面の面積を足し、cm²などの単位を書く。
例題
底面半径3cm、母線5cmの円すいの表面積を求めなさい。
解答・解説
底面は9πcm²。側面はπ×3×5＝15πcm²なので計24πcm²。側面のおうぎ形の円周に対する割合は6π÷10π＝3/5で、面積25π×3/5＝15πとしても求められます。
自分で確かめる
半径2cm、高さ6cmの円柱の表面積は？
確認問題の解答
底面2枚で8π、側面は4π×6＝24π。計32πcm²です。
間違えやすいところ
円すいの母線と高さは別です。ふたのない容器は底面1枚、立体全体の表面積は通常底面を含めます。
5. 体積
柱体は同じ断面を高さ方向に重ねたものなので、底面積×高さで体積を求められます。同じ底面積・高さの錐体は柱体の1/3になります。
基本事項
柱体 V＝Sh、錐体 V＝Sh/3。円柱 V＝πr²h、円すい V＝πr²h/3、球 V＝4πr³/3。高さは底面に垂直な距離です。
解き方・考え方
① 底面を決め面積Sを求める。
② 垂直な高さhを読む。
③ 柱か錐かで公式を選ぶ。
④ cm³などの単位を付ける。
例題
底面が底辺6cm・高さ4cmの三角形で、立体の高さが9cmの三角すいの体積は？
解答・解説
底面積は6×4÷2＝12cm²。体積は12×9÷3＝36cm³。底面の三角形の高さ4cmと、立体の高さ9cmを分けて使います。
自分で確かめる
半径3cmの球の体積と、1Lに等しいcm³を答えなさい。
確認問題の解答
4×π×27÷3＝36πcm³。1L＝1000cm³です。
間違えやすいところ
半径が2倍なら体積は8倍で、表面積は4倍です。水位を求めるときは、水の体積÷容器の底面積を使います。