式の置き換えと計算の工夫

考え方

同じ式のまとまりを1つの文字と見ると、公式が使いやすくなります。最後に元の式へ戻します。

A=x+1 とおく

同じまとまりが繰り返される式は、一時的に1文字で置くと、すでに知っている公式の形になります。置き換えは計算を見通すための道具です。

1. 繰り返し現れる式を見つける

2. Aなど1文字に置き換える

3. 公式を用いて展開・因数分解する

4. Aを元の式に戻し、かっこ内を整理

【例】(x+2)²+5(x+2)+6 を因数分解する。

① A=x+2 とおくとA²+5A+6。

② 和5、積6の2数は2と3なので(A+2)(A+3)。

③ Aを戻して(x+4)(x+5)。

【数値】103×97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991。数の計算にも平方の差を使える。

(x+1)²+5(x+1)+6 を因数分解しなさい。

解答・解説

(x+3)(x+4)

t=x+1 とおくと (t+2)(t+3)。t を戻す。

102²-98² を、工夫して計算しなさい。

解答・解説

800

平方の差より (102+98)×(102-98)=200×4。

置き換えた文字のまま答えないこと。x+2全体がAなので、A²をx²+2にしてはいけません。