三角形の相似条件

考え方

3組の辺の比、2組の辺の比とその間の角、2組の角のいずれかを使って相似を判断します。

2組の角がそれぞれ等しい

合同では対応する辺の長さが等しい必要がありますが、相似では辺の比が一定なら構いません。必要な条件がそろったことを具体的に述べます。

1. 3組の辺の比・2辺の比とその間の角・2組の角から使える条件を選ぶ

2. 対応の順に比や角を書き並べる

3. 比を約分して一致を確認

4. 条件名を添えて相似を結論づける

【例】3辺が4、6、8の三角形と6、9、12の三角形を比べる。

① 短い順に対応させると4:6=6:9=8:12=2:3。

② 3組の辺の比がすべて等しいので相似。

【別の条件】2辺の比が等しくても、等しい角がその2辺の間でなければ、この条件では相似といえない。

③ 2組の角が等しければ、内角の和180°より残る角も等しくなる。

△ABCでDをAB上、EをAC上にとり DE∥BC とする。△ADE∽△ABC を証明しなさい。

解答・解説

2組の角がそれぞれ等しいので相似。

∠DAE=∠BAC は共通。平行線の同位角から ∠ADE=∠ABC。よって2組の角がそれぞれ等しく、△ADE∽△ABC。

△ABCで AB=6、AC=9。辺AB上のD、辺AC上のEが AD=4、AE=6 を満たす。DE∥BC を証明しなさい。

解答・解説

△ADE∽△ABC から同位角が等しく、DE∥BC。

AD:AB=4:6=2:3、AE:AC=6:9=2:3、∠DAE=∠BAC。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので相似。∠ADE=∠ABC から平行。

相似条件は「2組の辺と1つの角」では不十分。「その間の角」を必ず確認します。