相似の証明

考え方

対応する頂点の順序をそろえ、等しい角や辺の比の根拠を示してから相似条件につなげます。

平行線の同位角・錯角 → 相似

証明では、図の見た目ではなく、仮定や定理を根拠にします。同じ角でも、どの三角形のどの角かをはっきりさせると対応を取り違えません。

1. 証明する2つの三角形を宣言

2. 等しい角や辺の比を根拠とともに書く

3. 相似条件を述べる

4. 頂点の対応順に相似を表す

【例】△ABCの辺AB、AC上にD、EがありDE∥BC。△ADE∽△ABCを示す。

① △ADEと△ABCにおいて、∠DAE=∠BAC（共通）。

② ∠ADE=∠ABC（平行線の同位角）。

③ 2組の角がそれぞれ等しい。

④ よって△ADE∽△ABC。A↔A、D↔B、E↔Cの対応が式にも表れている。

△ABCでDをAB上、EをAC上にとり DE∥BC とする。△ADE∽△ABC を証明しなさい。

解答・解説

2組の角がそれぞれ等しいので相似。

∠DAE=∠BAC は共通。平行線の同位角から ∠ADE=∠ABC。よって2組の角がそれぞれ等しく、△ADE∽△ABC。

△ABCで AB=6、AC=9。辺AB上のD、辺AC上のEが AD=4、AE=6 を満たす。DE∥BC を証明しなさい。

解答・解説

△ADE∽△ABC から同位角が等しく、DE∥BC。

AD:AB=4:6=2:3、AE:AC=6:9=2:3、∠DAE=∠BAC。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので相似。∠ADE=∠ABC から平行。

「平行だから相似」と飛ばさず、平行からどの角が等しいかまで書きます。まだ示していない相似を途中の根拠に使ってはいけません。