相似な図形の面積比・体積比

考え方

長さがk倍になると、面積はk²倍、体積はk³倍です。同じ相似比をそのまま面積や体積に使いません。

相似比m:n → 面積比m²:n²、体積比m³:n³

面積は縦と横の2方向、体積は3方向の長さから決まります。長さの倍率をそのまま面積や体積に使わず、何を比べているかを最初に確認します。

1. 長さ・面積・体積のどの比か確認

2. 長さの比を求める

3. 面積は2乗、体積は3乗へ変える

4. 元の量に倍率を掛け、単位を確認

【例】相似比2:3の立体で、小さい体積が40cm³。

① 体積比は2³:3³=8:27。

② 大きい体積は40×27/8=135cm³。

③ 表面積なら比は4:9であり、8:27ではない。

【逆算】体積比8:125なら長さは2:5、表面積は4:25になる。

相似な2つの三角形の相似比が2:3である。小さい方の面積が 8cm² のとき、大きい方の面積を求めなさい。

解答・解説

18cm²

面積比は 2²:3²=4:9。大きい面積は小さい面積の9/4倍。

円すいを底面に平行な平面で切る。頂点から切り口までの高さが元の高さの2/3である。元の体積が81cm³のとき、下側の台の体積を求めなさい。

解答・解説

57cm³

上の小円すいは元の円すいと相似。体積は81×(2/3)³=24。下側は81-24=57。

切り取った残りの部分が元の立体と相似とは限りません。小さい相似な立体を先に計算し、全体から引く場面もあります。