中学数学 / 中3 / 図形と相似
図形と相似｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の知識を組み合わせ、証明・場合分け・条件の吟味に取り組みます。
問題 1｜相似の証明と辺
△ABCでDはAB上、EはAC上。∠ADE＝∠ACBである。△ADEと△ACBの相似を示し、AD＝4、AC＝10、AE＝3のときABを求めなさい。
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Aは共通だが対応DはC。
解答・解説
∠DAE＝∠CABと仮定の角から相似。AD：AC＝AE：AB、4：10＝3：ABよりAB＝7.5。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜角の二等分線
△ABCでAB＝6、AC＝9。∠Aの二等分線ADとBCの交点をDとする。BC＝10のときBD,DCを求めなさい。角の二等分線の性質BD：DC＝AB：ACを用いてよい。
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比2：3で全体10を分ける。
解答・解説
BD＝4、DC＝6。ADそのものの長さではない。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜台形の対角線
台形ABCDでAB∥CD、AB＝6、CD＝10。対角線の交点をOとする。AO：OCと△AOB：△CODの面積比を求めなさい。
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錯角と対頂角から相似。
解答・解説
△AOB∽△COD、相似比3：5。AO：OC＝3：5、面積比9：25。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜台形の内部の面積
台形ABCDでAB∥CD、AB＝6、CD＝10、対角線の交点をOとする。△AOBの面積が18cm²。△CODと△AODの面積を求めなさい。
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相似面積比と、底辺AO,OCが共通直線上にあることを使う。
解答・解説
△AOB∽△CODの相似比3：5より△COD＝18×25/9＝50。△AODと△CODはDからACへの高さ共通でAO：OC＝3：5。△AOD＝50×3/5＝30cm²。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜円すいを切る
底面に平行に円すいを切り、頂点から切り口までが全体の高さの1/3となった。上の小円すいと残りの立体の体積比を求めなさい。
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小円すいは全体の1/27。
解答・解説
小：全体＝1：27なので小：残り＝1：26。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜面積を二等分する平行線
△ABCでDE∥BCとなるようAB,AC上にD,Eを取り、小三角形ADEの面積を全体の半分にする。AD：ABを求めなさい。
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比の2乗が1/2。
解答・解説
AD/AB＝1/√2＝√2/2。AD：AB＝1：√2。