中学数学 / 中3 / 図形と相似
図形と相似｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜中点連結を2回
四角形ABCDの各辺の中点を順にP,Q,R,Sとする。PQRSが平行四辺形になることを証明し、AC＝10、BD＝8のときその周を求めなさい。
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三角形ABCとADCで中点連結を使う。
解答・解説
PQ∥AC、SR∥ACでPQ＝SR＝AC/2。QR∥BD、SP∥BDなので2組の対辺が平行。周は2(5＋4)＝18。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜直角三角形の高さ
∠A＝90°の△ABCでBC＝10、AからBCへの垂線の足をHとしBH＝4。相似を使ってABとAHを求めなさい。
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△ABH∽△CBA、△ABH∽△CAH。
解答・解説
AB²＝BH×BC＝40よりAB＝2√10。CH＝6、AH²＝BH×CH＝24よりAH＝2√6。どちらも長さなので正。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜相似と面積の連立
相似な2三角形の対応辺の差が4cm、面積比が9：25。2本の辺の長さを求めなさい。
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辺の比3：5。
解答・解説
3k,5kとすると2k＝4、k＝2。6cmと10cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜台形の平行な線分
台形ABCDでAB∥CD、AB＝4、CD＝12。対角線の交点Oを通り底辺に平行な線がAD,BCと交わる点をP,Qとする。PQを求めなさい。
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△ADCと△BCDでOの分割比を使う。
解答・解説
AO：OC＝1：3。△ADCでOP∥CDよりOP/CD＝AO/AC＝1/4、OP＝3。△BCDでもOQ＝3。PQ＝6。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜体積から切断位置
円すいを底面に平行に切り、上の小円すいの体積と残りの体積を8：19にした。全体の高さ15cmのとき小円すいの高さを求めなさい。
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小：全体＝8：27。
解答・解説
相似比2：3なので高さ15×2/3＝10cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜測定の誤差
相似を利用した測量で図上5cmを実際20mに対応させた。川幅を図上8.0cmと測ったが、図上の誤差は±0.1cm以内だった。推定川幅と、誤差を考えた実際の範囲を求めなさい。
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図上1cmは4m。
解答・解説
推定32m。図上7.9〜8.1cmなので31.6m以上32.4m以下。測量条件自体の誤差は別に考える必要がある。