中学数学 / 中1 / 空間図形
空間図形｜標準問題
8大問（小問付き）。習った知識を使い分け、途中式や根拠も書いて取り組みましょう。
問題 1｜直線と平面
図の直方体で、(1)辺ABとねじれの位置にある辺をすべて答える。(2)辺ABと平行で、面ABCD上にない面を答える。
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交わる辺・平行な辺を除く。線と面が共有点をもたないことも確認。
解答・解説
(1)CG、DH、FG、HEの4辺。
(2)面EFGH、面CDHG。ABはこれらの面と交わらず、面内の辺と平行。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜三角柱の表面積
底面が3cm、4cm、5cmの直角三角形、高さ10cmの三角柱の体積と表面積を求めなさい。
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底面積と底面の周を先に出す。
解答・解説
底面積6cm²、体積60cm³。側面積(3＋4＋5)×10＝120cm²、底面2枚12を加え132cm²。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜円すいの表面積
底面半径3cm、母線5cm、高さ4cmの円すいについて体積と表面積を求めなさい。
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体積には高さ、側面積には母線を使う。
解答・解説
体積9π×4÷3＝12π cm³。側面積π×3×5＝15π、底面9πで表面積24π cm²。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜展開図の中心角
底面半径4cm、母線10cmの円すいを展開する。側面のおうぎ形の中心角と側面積を求めなさい。
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おうぎ形の弧は底面の円周8π。
解答・解説
中心角360×8π/(20π)＝144°。側面積π×4×10＝40π cm²。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜容器の水位
底面が縦12cm、横10cmの直方体容器に、水を720cm³入れた。水面の高さを求めなさい。そこへ完全に沈む体積240cm³の石を入れると何cm上がるか。水はあふれない。
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体積＝底面積×高さ。
解答・解説
初め720÷120＝6cm。上昇240÷120＝2cm、最終水位8cm。石が完全に沈む条件が必要。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜半球の表面積
半径6cmの半球の体積と、切り口を含めた表面積を求めなさい。
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球の表面積の半分だけでは切り口が抜ける。
解答・解説
体積(4/3)π×216÷2＝144π cm³。曲面72πに切り口36πを足し108π cm²。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 7｜投影図
立体を正面から見ると長方形、真上から見ると円だった。回転軸が鉛直な円柱・円すい・球のうちどれか。さらに正面図の横幅8cm、縦12cmから体積を求めなさい。
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真上の円の直径が正面の横幅に対応する。
解答・解説
円柱。半径4cm、高さ12cmで体積16π×12＝192π cm³。円すいの正面は三角形、球は円になる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 8｜立体の拡大
半径も高さも2倍の円柱を作る。体積と表面積はそれぞれ元の何倍か。式を使って説明しなさい。
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面積は2方向、体積は3方向の長さが掛かる。
解答・解説
体積π(2r)²(2h)＝8πr²hで8倍。表面積2π(2r)²＋2π(2r)(2h)＝4(2πr²＋2πrh)で4倍。