中学数学 / 中1 / 空間図形
空間図形｜入試問題
6大問（小問付き）。中1の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。条件の読み取りと説明まで取り組みましょう。
問題 1｜移し替えと満水
底面半径6cmの円柱容器に高さ10cmまで水がある。この水を、底面半径3cm・高さ8cmの円すい形カップに満杯ずつ移す。何杯分か。最後が満杯になるかも答えなさい。
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水の体積をカップ1杯の体積で割る。
解答・解説
水360π cm³、カップ24π cm³。360π÷24π＝15杯。ちょうど整数なので最後の15杯目も満杯。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜水位の変化から立体を調べる
底面積200 cm²で、側面が底面に垂直な容器に水を入れた。物体を完全に水中へ沈めると水面が3 cm上がった。水はあふれず、物体は水を吸わず溶けないものとする。
(1) 水位が上がった部分の体積と、沈めた物体の体積を求めなさい。
(2) この物体と同じ体積の角すいを作る。底面積が150 cm²なら高さはいくらか。式を作って求めなさい。
(3) 物体の一部が水面から出ていた場合、同じ計算で物体全体の体積が求められるか説明しなさい。
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増えたように見える水面下の空間には、物体の水中部分が入っている。水そのものが増えたわけではない。
解答・解説
(1) 水位上昇分は200×3＝600 cm³。完全に沈んでいるので、この体積は物体全体の体積600 cm³と等しい。
(2) 高さをh cmとすると150h÷3＝600。50h＝600よりh＝12。高さ12 cm。
(3) 求められない。200×3で分かるのは水中に入った部分だけの体積。水面から出ている部分もあるなら、全体の体積は600 cm³より大きい。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜円すい2個の接合
底面半径4cm、母線5cm、高さ3cmの円すい2個を底面同士で貼り合わせる。(1)体積。(2)外側の表面積。(3)貼り合わせる前の表面積の合計から、何をどれだけ引くか。
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底面2枚が内部に隠れる。
解答・解説
(1)2×16π×3/3＝32π cm³。
(2)側面2枚で2×π×4×5＝40π cm²。
(3)底面2枚分32π cm²を引く。もとの合計72πから40πになる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜展開図の条件選択
半径12cmのおうぎ形を側面とする円すいを作る。底面半径が整数cmになる中心角を、90°、120°、135°、150°からすべて選び、各半径を求めなさい。
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r＝12×中心角/360。
解答・解説
90°→3cm、120°→4cm、135°→4.5cm、150°→5cm。選ぶのは90°、120°、150°。母線と底面半径を混同しない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜面積と体積を比べる
Aは半径3cm、高さ8cmの円柱、Bは半径6cm、高さ2cmの円柱。(1)体積は等しいか。(2)表面積はどちらが何cm²大きいか。(3)同体積なら同表面積という主張を評価する。
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側面と底面をそれぞれ計算する。
解答・解説
(1)AもBも72π cm³。
(2)Aは18π＋48π＝66π、Bは72π＋24π＝96π。Bが30π cm²大きい。
(3)体積が等しくても形で表面積は変わるので誤り。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜2種類の立体と比
同じ半径rの球と、高さが半径の2倍の円すいを考える。(1)球と円すいの体積比。(2)球の半径だけを2倍にしたときの比。(3)比が変わる理由を式で説明する。
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球は(4/3)πr³、円すいは(2/3)πr³。
解答・解説
(1)2：1。
(2)球の体積は8倍になるので16：1。
(3)半径の3乗に比例するためで、半径2倍を体積2倍とはできない。