中学数学 / 中1 / 空間図形
空間図形｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を整理し、解き方を組み立てる問題です。
問題 1｜接合面を数えない複合立体
底面の半径3 cm、高さ8 cmの円柱の上に、底面の半径3 cm、高さ4 cm、母線5 cmの円すいをすき間なく載せる。底面同士は完全に重なっている。
(1) 円柱と円すいの体積を別々に求め、立体全体の体積を求めなさい。
(2) 外側に現れる面を挙げ、立体全体の表面積を求めなさい。
(3) 接合前の2つの表面積を単純に足すと、何cm²だけ大きくなるか。理由も答えなさい。
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体積は足せるが、表面積では内部に隠れた円を数えない。
解答・解説
(1) 円柱はπ×3²×8＝72π cm³。円すいはπ×3²×4÷3＝12π cm³。合計84π cm³。
(2) 外側に出るのは円柱の側面、円柱の下の底面、円すいの側面。順に2π×3×8＝48π、π×3²＝9π、π×3×5＝15π cm²。合計72π cm²。
(3) 接合した円柱の上面と円すいの底面の2枚が内部に隠れる。9π×2＝18π cm²だけ大きくなる。円すいの側面積には高さ4ではなく母線5を使う。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜穴を開けると表面積はどう変わるか
1辺10 cmの立方体に、半径2 cmの円柱形の穴を上面から下面まで垂直に開けた。穴は側面に触れず、完全に貫通している。
(1) 取り除く円柱の体積と、残った立体の体積を求めなさい。
(2) 穴を開けることで消える面と、新しく現れる面を説明しなさい。
(3) 穴の内側も含めた表面積を求め、穴を開ける前より増えるか減るかを答えなさい。
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上面と下面の円2枚が消え、穴の内壁が新しく表面に加わる。
解答・解説
(1) 穴の体積はπ×2²×10＝40π cm³。立方体の1000 cm³から引き、1000−40π cm³。
(2) 上面と下面から半径2 cmの円が1枚ずつ消える。新しく現れるのは半径2 cm、高さ10 cmの円柱の側面に当たる内壁。
(3) もとの表面積は6×10²＝600 cm²。円2枚の8π cm²を引き、内壁の2π×2×10＝40π cm²を足す。表面積は600＋32π cm²で、32π cm²増える。体積が減っても表面積が減るとは限らない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜同体積の条件
半径3cm、高さ12cmの円柱と、半径6cmの円すいの体積が等しい。円すいの高さを求め、底面積が4倍なのに高さが同じでない理由を説明しなさい。
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円すいの体積には1/3がある。
解答・解説
円柱108π。円すいは36πh/3＝12πhなのでh＝9cm。底面積4倍に1/3が掛かるため、高さは12の3/4になる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜円すいの展開図を読み解く
円すいの側面を開くと、半径15 cm、中心角144°のおうぎ形になった。底面の円の半径をr cmとする。
(1) 側面のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
(2) 弧と底面の関係から方程式を作り、rを求めなさい。
(3) 底面を含む表面積を求めなさい。また、15 cmを円すいの高さとして体積を計算してはいけない理由を説明しなさい。
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おうぎ形の半径は母線。弧を丸めると底面の円周になる。
解答・解説
(1) 2π×15×144/360＝12π cm。
(2) 2πr＝12πよりr＝6 cm。
(3) 側面積はπ×15²×144/360＝90π cm²。底面積36π cm²を足して126π cm²。15 cmは斜めの母線であり、頂点から底面に垂直に下ろした高さではない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜球と円柱
半径3cmの球が、高さ6cm・底面半径3cmの円柱容器にちょうど収まる。球以外の空間の体積と、球の体積が円柱の何倍かを求めなさい。
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円柱から球を引く。
解答・解説
円柱54π、球36π。空間18π cm³、比は36π/54π＝2/3。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜立方体の角を切り取る
1辺6 cmの立方体の頂点Oから出る3本の辺の中点をP、Q、Rとする。P、Q、Rを通る平面で頂点Oを切り取る。
(1) 切り取られる立体の名前と、OP、OQ、ORの長さを答えなさい。
(2) 三角形OPQを底面として、切り取られる立体の体積を求めなさい。
(3) 残った立体の体積を求めなさい。切断面PQRの面積が分からなくても体積が求められる理由も説明しなさい。
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OPとOQは垂直。残る1本の辺ORは底面OPQに垂直。
解答・解説
(1) 三角すいO-PQR。OP＝OQ＝OR＝3 cm。
(2) 直角三角形OPQの面積は3×3÷2＝9/2 cm²。高さOR＝3 cmなので体積は(9/2)×3×1/3＝9/2＝4.5 cm³。
(3) 立方体は6³＝216 cm³、残りは216−4.5＝211.5 cm³。三角すいではPQR以外の面も底面に選べる。OPQを底面にすれば高さORがすぐ分かる。