中学数学 / 中2 / データの活用
データの活用｜入試問題
6大問（小問付き）。中2までの学習内容を使う入試対策のオリジナル問題です。結果だけでなく、根拠まで説明しましょう。
問題 1｜箱ひげ図が隠す情報
9個のデータA＝0,1,3,4,5,6,8,10,12とB＝0,1,3,4,5,7,8,10,12について、中央値を上下の群から除いて5数要約と平均を求めなさい。同じ箱ひげ図なら平均も等しいと言えるか。
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下4個、上4個の中央を取る。
解答・解説
両方最小0、Q1＝2、中央値5、Q3＝9、最大12で同じ箱ひげ図。Aの平均49/9、Bの平均50/9で異なる。箱ひげ図が同じでも平均は決まらない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜条件を満たすデータを作る
小さい順の7個の整数データで、最小0、Q1＝2、中央値5、Q3＝8、最大10、平均5になるものを1例作りなさい。中央値は上下の群から除く。
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0,2,a,5,b,8,10と置いて合計35にする。
解答・解説
a＋b＝10。たとえばa＝4,b＝6で0,2,4,5,6,8,10。合計35、平均5。Q1は下3個の中央2、Q3は上3個の中央8で条件を満たす。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜四分位範囲の逆算
小さい順の8個のデータは1,3,x,8,10,12,y,20。中央値は9、四分位範囲は10、平均は9.5。x,yを求めなさい。
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Q1＝(3＋x)/2、Q3＝(12＋y)/2。
解答・解説
(12＋y−3−x)/2＝10よりy−x＝11。合計54＋x＋y＝76よりx＋y＝22。x＝5.5,y＝16.5。どちらも指定の並び順を満たす。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜全体平均の逆転
A校は1組10人の平均80点、2組30人の平均60点。B校は1組30人の平均75点、2組10人の平均55点。各組ではA校が高いが学校全体でもA校が高いか。計算して説明しなさい。
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人数の構成が異なる。
解答・解説
A全体(800＋1800)/40＝65点、B全体(2250＋550)/40＝70点でBが高い。人数の多い組の影響が大きいため、各組の比較と全体の比較は逆転し得る。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜データを1個削除
小さい順のデータ2,4,6,8,10,12,14,16から最大値16を削除した。削除前後の中央値、Q1、Q3、四分位範囲を比較しなさい。7個のとき中央値は上下から除く。
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データ数が変わると区切り方が変わる。
解答・解説
前は中央値9、Q1＝5、Q3＝13、四分位範囲8。後は中央値8、Q1＝4、Q3＝12、四分位範囲8。中央値と四分位数は下がるが四分位範囲は変わらない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜結論の妥当性
2学級のテストでAの中央値70、Q1＝60、Q3＝80、Bの中央値65、Q1＝55、Q3＝90だった。「Aの方が平均も高く、散らばりも必ず小さい」という主張を、分かることと分からないことに分けて訂正しなさい。
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平均・範囲・四分位範囲を区別する。
解答・解説
Aの中央値は高く、四分位範囲はA20、B35で中央付近の散らばりはAが小さい。しかし平均値と全体の範囲は読み取れないため、平均の大小や散らばりすべてを断定できない。