中学数学 / 中1 / 平面図形
平面図形｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を整理し、解き方を組み立てる問題です。
問題 1｜弧が等しい2つのおうぎ形
おうぎ形Aは半径6 cm、中心角120°。おうぎ形Bは半径9 cmで、弧の長さがAと等しい。
(1) Aの弧の長さを求めなさい。
(2) Bの中心角θを求めなさい。
(3) AとBの面積の比を求めなさい。「同じ弧なら面積も同じ」という意見が正しいか、計算を使って説明しなさい。
ヒントを見る
弧の長さと、半径2本も含めた周の長さを混同しない。
解答・解説
(1) 2π×6×120/360＝4π cm。
(2) Bの円全体の周は18π cm。弧の割合は4π/18π＝2/9なのでθ＝360×2/9＝80°。
(3) Aはπ×6²×120/360＝12π cm²、Bはπ×9²×80/360＝18π cm²。比は2：3。弧が等しくても半径が異なり、面積は等しくない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜半円を切り取った図形の面積と周
1辺8 cmの正方形ABCDの内側に、辺ABを直径とする半円を描く。正方形から半円を除いた色の部分について考える。
(1) 半円の半径と面積を求めなさい。
(2) 色の部分の面積を求めなさい。
(3) 色の部分の周の長さを求めなさい。「正方形の周から半円の弧を引けばよい」という考え方の誤りも説明しなさい。
ヒントを見る
残る図形の境界を指で一周たどる。ABは残らず、半円の弧が新しい境界になる。
解答・解説
(1) 半径は8÷2＝4 cm。半円の面積はπ×4²÷2＝8π cm²。
(2) 正方形の面積64 cm²から引いて64−8π cm²。
(3) 境界はAD、DC、CBの3辺と半円の弧。3辺は24 cm、弧は2π×4÷2＝4π cmなので、周は24＋4π cm。もとの周32 cmから消えるのはABの8 cmであり、弧の4π cmは引くのではなく足す。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜2つの等距離条件を満たす作図
三角形ABCの内部に、辺ABと辺ACへの距離が等しく、さらに頂点Aと頂点Bへの距離も等しい点Pを作図する。求める交点は三角形の内部にあるものとする。
(1) 2つの条件から、作図すべき2本の線を答えなさい。
(2) 定規とコンパスを使った作図の手順を説明しなさい。作図に使った円弧は残すこと。
(3) 2本とも角の二等分線にした作図では不十分な理由を説明しなさい。
ヒントを見る
「辺までの距離」は垂線の長さ。「頂点までの距離」は点を結ぶ線分の長さ。
解答・解説
(1) ∠BACの二等分線と、線分ABの垂直二等分線。
(2) Aを中心とする円弧とAB、ACの交点をD、Eとする。D、Eを中心に等しい半径の円弧を描き、その交点とAを結んで角の二等分線を引く。次にA、Bを中心に、ABの半分より大きい同じ半径の円弧を描く。できた2交点を結んでABの垂直二等分線を引く。2直線の交点がP。
(3) 角の二等分線は2辺への距離を等しくするが、PA＝PBを保証しない。2点から等距離という条件にはABの垂直二等分線が必要。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜折り返しの軸と移った点
座標平面上の点A(1,2)が、折り返しによってA′(5,2)に重なった。点Bの座標は(2,−1)である。
(1) 折り目がどのような直線になるか、AA′の中点と垂直という条件から説明しなさい。
(2) 同じ折り返しでBが移る点B′の座標を求めなさい。
(3) AとBをどちらも右へ4だけ平行移動した場合と、今回の折り返しとの違いを説明しなさい。
ヒントを見る
折り目上の点は、重なる2点から等距離になる。折り目から左右に同じ距離だけ離れた点を探す。
解答・解説
(1) AA′の中点は(3,2)。AA′は水平なので、その垂直二等分線である、x座標が常に3の縦の直線が折り目。
(2) Bは折り目の左に1だけ離れている。右に1だけ離れ、y座標が同じ点に移るのでB′(4,−1)。
(3) 右へ4の平行移動ではAはA′に重なるが、Bは(6,−1)に移る。1組の点の移動だけが同じでも、図形全体の移動方法が同じとは限らない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜面積から半径を絞る
中心角90°のおうぎ形の面積が25π cm²。半径と周の長さを求めなさい。
ヒントを見る
全円の面積は4倍。
解答・解説
πr²＝100πよりr²＝100。半径は正なのでr＝10cm。弧は20π/4＝5π、周は20＋5π cm。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜点の集合
A(−3,0)、B(3,0)から等距離で、x軸からの距離が4である点をすべて求めなさい。
ヒントを見る
ABの垂直二等分線と、x軸に平行な2本の線を考える。
解答・解説
等距離の条件からx＝0。x軸から4離れる条件からy＝4または−4。よって(0,4)、(0,−4)の2点。