中学数学 / 中1 / 平面図形
平面図形｜入試問題
6大問（小問付き）。中1の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。条件の読み取りと説明まで取り組みましょう。
問題 1｜3つの半円で囲まれる部分
長さ12 cmの線分ABの中点をMとする。AB、AM、MBをそれぞれ直径とする半円を、線分ABの同じ側に描いた。大きい半円から小さい半円2つを取り除いた色の部分を考える。
(1) 大きい半円と小さい半円の半径を求めなさい。
(2) 色の部分の面積を求め、大きい半円の面積の何倍か答えなさい。
(3) 色の部分の周の長さを求めなさい。直線ABの長さを足す必要があるかも説明しなさい。
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面積では小さい半円を引く。周では残った部分に接する3本の円弧をすべて足す。
解答・解説
(1) 大きい半円の半径は6 cm。AM＝MB＝6 cmなので小さい半円の半径は各3 cm。
(2) 大きい半円はπ×6²÷2＝18π cm²、小さい半円2つは2×(π×3²÷2)＝9π cm²。色の部分は9π cm²で、大きい半円の1/2倍。
(3) 大きい半円の弧は6π cm、小さい半円の弧は各3π cm。合計12π cm。色の部分の境界を一周すると3本の弧だけを通るため、直線ABは足さない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜円すいの展開図との接続
半径12cm、中心角150°のおうぎ形を丸めて、辺同士を重ねず円すいの側面にする。(1)底面の半径。(2)側面積。(3)底面を含む表面積。
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おうぎ形の弧が底面の円周になる。
解答・解説
弧は24π×150/360＝10πなので底面半径5cm。側面積144π×150/360＝60π cm²。表面積60π＋25π＝85π cm²。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜作図の可能性
A、Bから等距離で直線l上にある点を探す。ABの垂直二等分線とlが①交わる、②異なる平行線、③一致する場合について、条件を満たす点の個数を答え、理由を説明しなさい。
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求める点は2本の線の共通部分にある。
解答・解説
①1個、②0個、③無数。等距離の条件を満たすのは垂直二等分線上の点なので、lとの交点の数で決まる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜重ねた扇形の差
半径10cm、中心角72°のおうぎ形から、同じ中心・同じ2本の半径方向をもつ半径5cmのおうぎ形を取り除く。残る部分の面積と周を求めなさい。
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外弧と内弧に、長さ5の線分2本を足す。
解答・解説
面積(100π−25π)×72/360＝15π cm²。外弧4π、内弧2π、直線部分計10。周は10＋6π cm。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜移動の順序と一般化
P(a,b)をx軸、次にy軸について対称移動する。(1)最終座標。(2)これは原点中心の何度の回転と同じか。(3)先にy軸、次にx軸でも同じか説明する。
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2回の操作でどちらの座標の符号が変わるか追う。
解答・解説
(1)(a,−b)→(−a,−b)。
(2)180°回転。
(3)(−a,b)→(−a,−b)で同じ。どちらの順でも両座標の符号が1回ずつ変わる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜条件を満たす中心
A(−4,0)、B(4,0)、C(0,4)を通る円を作図する。1目盛り1cmとする。(1)中心を決める2本の垂直二等分線。(2)中心の座標と半径。(3)その円周と面積。
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円の中心は3点から等距離になる。
解答・解説
ABとAC（またはBC）の垂直二等分線の交点。原点OはOA＝OB＝OC＝4なので中心(0,0)、半径4cm。円周8π cm、面積16π cm²。