中学数学 / 中1 / データの活用
データの活用｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を整理し、解き方を組み立てる問題です。
問題 1｜不明なデータの特定
小さい順に2、5、x、9、12と並んだ5個の平均が7である。(1)x。(2)中央値。(3)最頻値はあるか。
ヒントを見る
合計が35になることを使う。
解答・解説
2＋5＋x＋9＋12＝35よりx＝7。中央値7。すべて1回ずつなので、ここでは最頻値はないと扱う。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜2集団の平均
A班8人の平均が12点、B班12人の平均が17点。全体の平均を求めなさい。「平均の平均は14.5点」という計算が不適切な理由も述べなさい。
ヒントを見る
各班の合計点に戻す。
解答・解説
(8×12＋12×17)/20＝300/20＝15点。人数の多いB班の影響が大きく、各班を同じ重みで平均できない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜ヒストグラムから分かる範囲
20人の通学時間を1分単位の整数で記録した結果が図のヒストグラムである。各階級は左の値以上、右の値未満とする。
(1) この図だけで、通学時間の最小値と最大値を正確に決められるか。理由を述べなさい。
(2) データの範囲が最も小さくなる場合と最も大きくなる場合を考え、それぞれの範囲を求めなさい。
(3) 「最も人数が多い階級は20分以上30分未満なので、中央値もその階級にある」という意見を、累積度数で判断しなさい。
ヒントを見る
中央値は小さい順の10番目と11番目の平均。最頻階級とは別の指標。
解答・解説
(1) 決められない。最小値は0～9分のどこか、最大値は30～39分のどこかまでは分かるが、階級内の値は不明。
(2) 最小値をできるだけ大きい9分、最大値をできるだけ小さい30分にすると範囲21分。逆に0分と39分なら範囲39分。
(3) 20分未満は3＋7＝10人。10番目は10分以上20分未満、11番目は20分以上30分未満にある。中央値はその2人の平均なので、必ず20～30分の階級に入るとはいえない。例えば10番目19分、11番目20分なら中央値19.5分。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜度数分布と平均の見積もり
ある調査の通学時間を表に整理した。中央の階級の人数がx人で、階級値を用いて求めた平均は17分だった。
(1) 階級値と人数を使って、平均を表す方程式を作りなさい。
(2) xと総人数を求めなさい。
(3) 20分以上30分未満の階級の相対度数を求めなさい。また、「実際の平均が必ず17分」といえるか説明しなさい。
| 時間（分） | 階級値 | 人数 |
|---|---|---|
| 0以上10未満 | 5 | 3 |
| 10以上20未満 | 15 | x |
| 20以上30未満 | 25 | 5 |
ヒントを見る
平均は階級値の単純平均ではなく、人数を掛けた合計を総人数で割る。
解答・解説
(1) (5×3＋15x＋25×5)/(3＋x＋5)＝17。
(2) 140＋15x＝17(8＋x)、140＋15x＝136＋17xよりx＝2。総人数は3＋2＋5＝10人。
(3) 相対度数は5/10＝0.5。17分は各階級のデータを階級値で代表させた見積もりであり、実際の平均とは限らない。正確な平均には個々の記録が必要。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜中央値を変えない追加
1、3、5、7、9に整数aを1個加えた6個の中央値が5になった。aを求め、他の値ではなぜ違うか説明しなさい。
ヒントを見る
aが5より小さい、等しい、大きいで中央2個を比較。
解答・解説
a＝5。a＜5なら中央2個の一方が5より小さく平均も5未満。a＞5なら一方が5より大きく平均も5より大きい。a＝5なら中央が5、5。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜実験結果の比較
同じ種類のくじを戻して引く実験で、Aは20回中14回、Bは1000回中480回当たりだった。「Aのくじの方が必ず当たりやすい」と言えるか。相対度数を示し、調べ直す方法も提案しなさい。
ヒントを見る
少ない回数の結果には偶然の変動がある。
解答・解説
相対度数はA0.70、B0.48。観測割合はAが高いが、本来の当たりやすさを必ずそうだと断定できない。条件をそろえ、Aも十分な回数繰り返して比較する。