考え方
整数や図形の条件を文字で表し、式を整理して性質を示します。いくつかの数で確かめるだけでは証明になりません。
(n+1)²−n²=2n+1
いくつかの数で成り立っても、すべての整数で成り立つとは限りません。任意の整数を文字で表し、結論となる形に整理すれば一般的な説明になります。
解き方・考え方
1. 何を示すかを言葉で確認
2. 整数・連続する数などを文字で表す
3. 式を展開・整理する
4. 倍数や奇数の形であることを言葉で結論づける
例題と途中の考え方
【例】連続する2つの奇数の積に1を加えると4の倍数になることを示す。
① 整数nを使い、2つの奇数を2n+1、2n+3と表す。
② (2n+1)(2n+3)+1=4n²+8n+4。
③ 4(n²+2n+1)=4(n+1)² とくくる。
④ (n+1)²は整数だから、元の数は4の倍数である。
自分で確かめる
確認 1｜総合・説明
連続する2つの整数の平方の差が奇数になることを、文字を使って説明しなさい。
解答・解説
2n+1 となるので奇数。
整数を n、n+1 とおくと (n+1)²-n²=2n+1。n は整数なので奇数を表す。
確認 2｜総合・説明
x+y=9、xy=14 のとき、x²+y² と (x-y)² を求めなさい。
解答・解説
x²+y²=53、(x-y)²=25
x²+y²=(x+y)²-2xy=81-28。(x-y)²=(x+y)²-4xy=81-56。
確かめ方・間違えやすいところ
最後に「4×整数」など結論の形を示します。文字の意味と、整数である条件を省くと証明が不十分になります。