中学数学 / 中3 / 三平方の定理
三平方の定理｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜箱の表面の最短距離
縦3cm、横4cm、高さ12cmの直方体で向かい合う頂点を表面に沿って結ぶ最短距離を求めなさい。
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3種類の展開で長方形の対角線を比較。
解答・解説
√((3＋4)²＋12²)＝√193、√((3＋12)²＋4²)＝√241、√((4＋12)²＋3²)＝√265。最小は√193cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜三角形の高さを逆算
3辺13cm、14cm、15cmの三角形の面積を求めなさい。
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14cmの辺への高さで分け、足までの距離をxとする。
解答・解説
x²＋h²＝13²、(14−x)²＋h²＝15²。差から196−28x＝56、x＝5。h²＝169−25＝144、h＝12。面積84cm²。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜折り返しの位置
長方形ABCDでAB＝6cm、BC＝8cm。AがCに重なるように折る。折り目と辺ADの交点をPとするときAPを求めなさい。
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折り目上はA,Cから等距離。AD＝8。
解答・解説
AP＝xならPC²＝(8−x)²＋6²。x²＝(8−x)²＋36から16x＝100、x＝25/4cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜2つの円の共通弦
半径5cmの2円の中心間距離は6cm。共通弦の長さを求めなさい。
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等半径なので共通弦は中心間線分の垂直二等分線上。
解答・解説
中心から共通弦まで3cm。半弦√(25−9)＝4cm、弦8cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜相似と三平方
∠A＝90°の△ABCでAB＝6cm、AC＝8cm。AからBCへの垂線の足HについてAH、BH、CHを求めなさい。
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BCを求め、面積と相似を使う。
解答・解説
BC＝10。面積24＝10×AH/2からAH＝24/5。BH＝AB²/BC＝18/5、CH＝AC²/BC＝32/5。和は10。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜座標と面積
A(−2,1),B(4,1),C(1,5)。外接円の中心が直線x＝1上にあることを説明し、その中心と半径を求めなさい。
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ABの垂直二等分線上でA,Cへの距離を等しくする。
解答・解説
中心O(1,k)とすると9＋(k−1)²＝(k−5)²。8k＝15よりk＝15/8。半径5−15/8＝25/8。中心は(1,15/8)。