空間図形への利用

考え方

空間の中に直角三角形を見つけます。底面の対角線を先に求めると、立体の対角線が計算できます。

直方体の対角線²=縦²+横²+高さ²

空間では、一度の三平方で答えが出ない場合があります。底面の直角三角形を先に解き、その結果を立体内の別の直角三角形へつなげます。

1. 必要な平面を取り出して描く

2. 底面の対角線などを先に求める

3. 高さと合わせて2回目の三平方を使う

4. 体積・表面積なら求めた長さを公式へ戻す

【例】縦3cm、横4cm、高さ12cmの直方体の対角線。

① 底面の対角線dはd²=3²+4²=25なのでd=5cm。

② 立体の対角線LはL²=d²+12²=25+144=169。

③ L=13cm。まとめればL²=3²+4²+12²。

【円すい】母線5cm、半径3cmなら高さは√(25-9)=4cmであり、母線とは異なる。

3辺の長さが 2cm、3cm、6cm の直方体の対角線を求めなさい。

解答・解説

7cm

対角線の2乗は3辺の平方の和。4+9+36=49。

底面が一辺6cmの正方形、高さ4cmの正四角すいの体積と側面積を求めなさい。

解答・解説

体積48cm³、側面積60cm²

体積は36×4/3=48。側面の三角形の高さは √(4²+3²)=5。側面積は (6×5/2)×4=60。

展開図を使う最短経路では、立体の内部を通らず表面だけという条件を守ります。空間の対角線と表面上の最短経路は別です。