中学数学 / 中2 / 確率
確率｜入試問題
6大問（小問付き）。中2までの学習内容を使う入試対策のオリジナル問題です。結果だけでなく、根拠まで説明しましょう。
問題 1｜一次関数と確率
大小2個の公平なさいころの目をa,bとして直線y＝ax−bを作る。点(1,2)を通る確率と、点(1,2)を通り傾きが4以上となる確率を求めなさい。
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a−b＝2となる組を列挙。
解答・解説
(a,b)＝(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)の4通りで1/9。うちa≧4は3通りなので1/12。後者も全36通りを分母にする。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜カードの並べ方
0,1,2,3の4枚すべてで作れる4桁の整数を等確率で1つ選ぶ。3の倍数になる確率と、4の倍数になる確率を求めなさい。
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桁の和は常に6。4の倍数は下2桁で判断する。
解答・解説
全体は3×3×2＝18個。桁の和6だから3の倍数は確率1。4の倍数の下2桁は12,20,32。12のとき残り0,3で1通り、20のとき1,3で2通り、32のとき0,1で1通り。計4通り、2/9。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜移動する点
数直線上の原点から始め、公平な硬貨を3回投げる。表なら右へ2、裏なら左へ1進む。最後の位置が正になる確率と、位置が0になる確率を求めなさい。
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表の回数をkとすると位置は2k−(3−k)。
解答・解説
位置3k−3。正はk＝2,3で3＋1＝4通り、確率1/2。0はk＝1の3通りで3/8。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜くじの公平性
当たり2本、外れ3本のくじをA、Bの順に1本ずつ戻さず引く。Aが当たる確率、Bが当たる確率、2人とも当たる確率を求め、順番が有利不利を生むか説明しなさい。
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くじに番号を付け全20通りで数える。
解答・解説
Aの当たりは2×4＝8通り、Bも4×2＝8通りでともに2/5。両方当たりは2通りで1/10。当たる確率は同じなので順番による有利不利はない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜三角形を作れるか
長さ2,3,4,5cmの棒から異なる3本を等確率で選ぶ。三角形ができる確率を求めなさい。
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短い2辺の和が最長辺より大きい必要がある。
解答・解説
4組中、(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)は成立。(2,3,5)は和が等しく一直線になるため不可。確率3/4。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜重複する条件
大小2個の公平なさいころで「和が8」または「少なくとも一方が6」となる確率を求めなさい。2つの数え上げを単純に足せない理由も示しなさい。
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(2,6),(6,2)を二重に数えている。
解答・解説
和8は5通り、一方以上6は11通り、重複2通り。5＋11−2＝14通りで7/18。重複分を1回引く必要がある。