中学数学 / 中1 / 比例・反比例
比例・反比例｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を整理し、解き方を組み立てる問題です。
問題 1｜比例と反比例の共通点
y＝2xとy＝18/xの両方のグラフ上にある点を求めなさい。中1の計算を使い、正と負の両方を調べなさい。
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2x＝18/xからx×xの値を求める。
解答・解説
x≠0で両辺にxを掛けると2x²＝18、x²＝9。x＝3または−3なので(3,6)、(−3,−6)。正の答えだけでは不十分。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜比例のグラフと面積の逆算
比例y＝−2xのグラフ上に、x座標が正の点Pをとる。Pからx軸に下ろした垂線の足をQとし、原点をOとする。座標の1目盛りを1 cmとする。
(1) Pのx座標をaとするとき、Pの座標、OQ、PQをaで表しなさい。
(2) 三角形OPQの面積が16 cm²となるPの座標を求めなさい。
(3) 同じ直線上でx座標が負の点にも同じ面積の三角形を作れるか。座標と理由を答えなさい。
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座標のyは負でも、線分PQの長さは正。面積をa×2a÷2で考える。
解答・解説
(1) P(a,−2a)、OQ＝a cm、PQ＝2a cm（a＞0）。
(2) 面積はa×2a÷2＝a²。正の数で2乗が16となる数は4なのでa＝4。P(4,−8)。
(3) P(−4,8)でもOQ＝4、PQ＝8となり面積は16 cm²。直線は原点を通り、この2点は原点について対称。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜反比例の差を使う
y＝a/xで、x＝2のときのyはx＝5のときより9大きい。aを求め、x＝−3のときのyを答えなさい。
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a/2−a/5＝9と置く。
解答・解説
5a−2a＝90、a＝30。式はy＝30/x。x＝−3で−10。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜仕事の途中で人数変更
6人で10日かかる仕事を、最初の4日間は6人で行い、残りを9人で行う。同じ能力・一定の仕事量とし、何日目に完了するか。
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全体60人日から最初の24人日を引く。
解答・解説
残り36人日、9人なら4日。初めから4＋4＝8日目に完了。途中から全体に反比例の式を使い直さず、残りの仕事を考える。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜図形の面積から重さを推定する
同じ材質で厚さが一定の金属板から、図の長方形アと台形イを切り出した。アは縦8 cm、横10 cmで重さ24 g。イは上底4 cm、下底8 cm、高さ5 cmである。
(1) 面積をS cm²、重さをw gとして、wをSの式で表しなさい。
(2) 台形イの重さを求めなさい。
(3) 同じ板から切り出した複雑な形の板ウは12 gだった。面積を求めなさい。また、材質は同じでも厚さが違う板に(1)の式を使えるか説明しなさい。
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切り出した形が違っても、同じ材質・同じ厚さなら重さは面積に比例する。
解答・解説
(1) アの面積は8×10＝80 cm²。1 cm²当たり24/80＝3/10 gなのでw＝(3/10)S。
(2) イの面積は(4＋8)×5÷2＝30 cm²。重さは(3/10)×30＝9 g。
(3) 12＝(3/10)SよりS＝40 cm²。厚さが変われば1 cm²当たりの重さが変わるため、同じ比例定数3/10は使えない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜整数座標の数
y＝12/xのグラフ上で、x、yがともに正の整数となる点をすべて求めなさい。また、x＜yを満たす点はいくつか。
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xは12を割り切る正の整数。
解答・解説
(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1)の6点。x＜yは最初の3点。xを無制限に調べる必要はない。