中学数学 / 中1 / 比例・反比例
比例・反比例｜入試問題
6大問（小問付き）。中1の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。条件の読み取りと説明まで取り組みましょう。
問題 1｜反比例上の長方形
第1象限のy＝24/x上にPがある。Pから両軸へ垂線を下ろし、原点と作る長方形を考える。(1)面積。(2)両辺が整数cmで周が20cmのときPの座標をすべて求める。1目盛り1cm。
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面積xy＝24。周からx＋y＝10となる因数の組を探す。
解答・解説
(1)24cm²。
(2)24の正の因数の組(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)のうち和10は4と6。P(4,6)、(6,4)。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜比例のグラフと領域
y＝ax（a＞0）上の点Pのx座標は4。A(−2,0)、B(6,0)として三角形ABPの面積が48cm²になるaを求めなさい。またaを2倍すると面積は何倍か。1目盛り1cm。
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底辺AB＝8、高さ＝4a。
解答・解説
8×4a÷2＝48より16a＝48、a＝3。高さがaに比例するのでaを2倍にすると面積も2倍。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜水槽の残りと総量
空の水槽に給水する。毎分6Lなら満水まで20分かかる。(1)毎分x Lで満水までy分の式。(2)毎分6Lで5分入れた後、毎分9Lに変えた。開始から満水まで何分か。
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水槽の容量を求めてから残りの量を考える。
解答・解説
(1)容量120L、y＝120/x。
(2)初めの5分で30L、残り90L。90÷9＝10分追加し、合計15分。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜速さの平均の落とし穴
往復とも同じ6kmを、行き時速4km、帰り時速6kmで進む。(1)合計時間。(2)往復の平均の速さ。(3)速さの単純平均5km/hと異なる理由。
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平均の速さは総距離÷総時間。
解答・解説
行き1.5時間、帰り1時間、合計2.5時間。平均12÷2.5＝4.8km/h。2つの速さで進んだ時間が同じでないため、速さを足して2で割れない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜面積比と点の位置
A(2,6)を通る比例のグラフ上にP(t,3t)、t＞2がある。B(2,0)、Q(t,0)、Oは原点。三角形OPQの面積が三角形OBAの4倍のとき、tとPの座標を求めなさい。1目盛り1cm。
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小さい三角形は面積6。大きい方は3t²/2。
解答・解説
OBAは2×6÷2＝6。OPQは24なので3t²/2＝24、t²＝16。t＞2よりt＝4、P(4,12)。長さが2倍だと面積は4倍になる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜条件不足を見抜く
ある表の2組の値が(2,6),(4,12)である。(1)比例すると仮定した式。(2)この2組だけで全範囲で比例すると断定できるか。(3)(6,19)が追加されたとき、比例と反比例のどちらか判断する。
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観測した2点と、関係全体の性質を区別する。
解答・解説
(1)y＝3x。
(2)断定できない。他の値がその式に従う条件が必要。
(3)比例ならx＝6で18だが19なので違う。反比例も積12と48が一致せず違う。どちらでもない。