円周角の定理

考え方

同じ弧に対する円周角は中心角の半分です。この関係は円周上の頂点の位置が変わっても成り立ちます。

中心角=2×円周角

円周角の定理は、中心と円周上の頂点を結び、半径が等しい二等辺三角形を作ることで説明できます。頂点の位置が変わっても同じ弧なら関係は変わりません。

1. 対応する弧が同じことを確認

2. 中心角からなら2で割る

3. 円周角からなら2倍する

4. 角の大きさが図の位置関係と矛盾しないか確認

【例】小さい弧ABに対する円周角が38°。

① 同じ弧の中心角は2×38=76°。

② 逆に中心角76°からは円周角76÷2=38°と戻せる。

③ 大きい弧ABの中心角は360-76=284°。

④ 小さい弧上の点を頂点とする円周角は大きい弧を見込むため284÷2=142°になる。

小さい弧ABに対する円周角が 25° である。同じ弧に対する中心角を求めなさい。

解答・解説

50°

同じ弧に対する中心角は、円周角の2倍。

小さい弧ABの中心角が 70° である。点Pが小さい弧AB上にあるとき、∠APB を求めなさい。

解答・解説

145°

Pを含まない大きい弧の中心角は 360-70=290°。その半分を求める。

必ず小さい方の中心角を2で割るとは限りません。頂点を含まない弧に対応する中心角を選びます。