円周角の定理の逆

考え方

線分ABの同じ側にあるP、Qについて、∠APBと∠AQBが等しければ4点は同一円周上にあります。

同じ側という位置関係も確認

定理の逆は、4点が同じ円周上にあることを角の条件から判断するために使います。もともと円が描かれていない問題でも、円を補助的に考えられます。

1. 共通の両端A、Bを確認

2. P、Qが線分ABの同じ側か確認

3. ∠APBと∠AQBの等しさを根拠付きで示す

4. 4点が同一円周上にあると結論づける

【例】線分ABの同じ側にあるP、Qについて∠APB=50°、∠AQB=50°。

① 同じ線分ABを同じ側から同じ角度で見込んでいる。

② 円周角の定理の逆により、A、B、P、Qは同一円周上にある。

③ その円を考えると、別の同じ弧に対する角の等しさも使える。

④ 逆は「円周上だから等しい」ではなく「等しいから円周上」と判断する。

点P、Qは線分ABの同じ側にあり、∠APB=35°、∠AQB=35° である。A、B、P、Qは同一円周上にあるか。理由も答えなさい。

解答・解説

同一円周上にある。

同じ線分ABを同じ側から見込む角が等しいので、円周角の定理の逆が使える。

四角形ABCDで∠ABC=∠ADC=90°である。この4点が同一円周上にある理由を説明しなさい。

解答・解説

B、DはともにACを直径とする円周上にある。

線分ACを直角に見込む点は、ACを直径とする円周上にある。したがってA、B、C、Dは同一円周上にある。

同じ側という条件を省かないこと。図だけから位置関係を思い込まず、問題文や既知の条件を確認します。