円の性質の利用と証明

考え方

円周角に加え、二等辺三角形や三角形の内角の和を組み合わせて角を求め、理由を説明します。

半径は等しい → 二等辺三角形

円の証明では、半径の等しさ・円周角・対頂角・平行線の角を組み合わせます。何が等しいかを書くだけでなく、なぜ等しいかを一つずつ添えます。

1. 使う三角形や角を宣言

2. 同じ弧に対する円周角を探す

3. 対頂角や二等辺三角形の性質を追加

4. 条件をまとめて相似や求める角につなげる

【例】A、B、C、Dがこの順に円周上にあり、ACとBDがPで交わる。

① △APBと△DPCにおいて、∠APB=∠DPC（対頂角）。

② ∠PAB=∠CDP（同じ弧BCに対する円周角）。

③ 2組の角がそれぞれ等しいので△APB∽△DPC。

④ 対応はA↔D、P↔P、B↔C。AP:DP=BP:CP=AB:DCが使える。

円Oで、OA=OB、∠OAB=30° である。小さい弧ABに対する円周角を求めなさい。

解答・解説

60°

中心角∠AOB=180-2×30=120°。円周角はその半分。

円周上の4点A、B、C、Dがこの順に並ぶ。対角線ACとBDの交点をPとする。△APB∽△DPC を証明しなさい。

解答・解説

2組の角がそれぞれ等しい。

∠APB=∠DPC は対頂角。∠PAB=∠CDB=∠CDP は同じ弧BCに対する円周角。よって相似。

相似を表す順を間違えると、その後の比も誤ります。円の中心と弦の交点は一般には別の点です。