直径と円周角

考え方

直径に対する弧の中心角は180°なので、円周角は90°です。直角三角形を見つける手掛かりです。

直径に対する円周角=90°

直径は円を半分に分けます。半円に対する中心角が180°なので、円周角はその半分の90°です。直角の印がない図でも見つけられます。

1. 直径と明記された線分を探す

2. その両端と円周上の点を結ぶ

3. 円周角90°を書き込む

4. 三角形の内角の和などで残る角を求める

【例】ABは直径、Cは円周上、∠CAB=34°。

① Cを含まない半円ABの中心角は180°。

② ∠ACB=90°。

③ ∠ABC=180-90-34=56°。

④ 逆に∠ACB=90°なら、CはABを直径とする円周上にあると考えられる。

ABを直径とする円周上にCがあり、∠CAB=25° である。∠ACB と ∠ABC を求めなさい。

解答・解説

∠ACB=90°、∠ABC=65°

直径に対する円周角は90°。三角形の内角の和180°から残りの角を出す。

ABを直径とする円周上の点Cについて、∠ACB=90° となる理由を中心角から説明しなさい。

解答・解説

中心角180°に対する円周角だから。

Cを含まない半円の中心角は180°。円周角の定理より ∠ACB=(180÷2)°=90°。

円の中を横切る線分が、見た目だけで直径とは限りません。中心を通ること、または直径という条件が必要です。