中学数学 / 中3 / 標本調査
標本調査｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜無回答者で結論が変わる
200人に調査し150人が回答、そのうち90人が賛成。無回答50人を含む200人全体の賛成率の最小値と最大値を求めなさい。
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無回答が全員反対と全員賛成を考える。
解答・解説
最小90/200＝45％、最大140/200＝70％。回答者内60％だけで全体の過半数を保証できない。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜抽出比率が異なる
全体1000人のうちA群800人、B群200人。A群から100人選ぶと賛成40人、B群から100人選ぶと賛成80人だった。全体の賛成者数と率を推定し、単純集計との差を説明しなさい。
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母集団の構成に戻す。
解答・解説
A320人、B160人で計480人、48％程度。標本を単純合算すると120/200＝60％だが、B群を相対的に多く抽出しているため不適切。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜2回の推定を比較
標識60匹を放した池から、1回目100匹中6匹、2回目150匹中12匹を再捕した。各回の推定と、2回の標本を合算した推定を求めなさい。捕った魚は毎回戻し、標識数は変わらないとする。
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合算では標識割合18/250。
解答・解説
1回目1000匹、2回目750匹。合算60×250/18＝2500/3≒833匹。推定値の単純平均875匹とは異なる。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜不良率と損失
10000個から無作為に200個を検査し不良品6個。不良品1個の交換費用400円として総費用を推定する。実際の不良率が推定より1ポイント高ければ費用はいくら増えるか。
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1ポイントは1％分の差。
解答・解説
推定不良率3％、300個で120000円。4％なら400個で160000円。差40000円。3％の1％増とは違う。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜調査計画を設計
全校900人の図書館利用状況を90人で調査する。各学年300人。偏りを減らす抽出方法、質問の期間、回答がない場合の対応を具体的に提案しなさい。
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対象・質問・未回答をそろえて設計。
解答・解説
各学年の全員に番号を付け、各30人を無作為抽出する。例えば「直近4週間に利用した回数」と期間を統一。未回答者には再依頼し、回収率と未回答数を併記する。回答しそうな友人へ勝手に置き換えない。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜二重の選択の偏り
ネット投票で1万人中80％が新教材を支持したので、全生徒の80％が支持すると発表した。母集団、抽出、回答の観点から問題を3点示し、改善案を述べなさい。
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大標本でも偏りは消えない。
解答・解説
利用者と全生徒は一致しない可能性、投票を知る人が偏る可能性、支持の強い人が自発的に答えやすい点が問題。全生徒の名簿から無作為抽出し、同じ質問で調査して回収率を示す。1万人という数だけでは代表性を保証しない。