中学数学 / 中3 / 標本調査
標本調査｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の知識を組み合わせ、証明・場合分け・条件の吟味に取り組みます。
問題 1｜学年別の割合を統合
1年300人の無作為標本60人中18人、2年200人の標本40人中20人が利用していた。各学年の利用者数と2学年全体の利用率を推定しなさい。
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学年ごとの母集団人数を使う。
解答・解説
1年90人、2年100人。全体190/500＝38％程度。30％と50％を単純平均して40％にはしない。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜標識の条件が崩れる
標識付きの魚が標識なしより捕まりやすい場合、標識再捕法の全体推定は大きめ・小さめのどちらに偏るか。
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再捕標本の標識付き割合が高くなる。
解答・解説
小さめ。N＝最初の標識数÷再捕時の標識割合なので、割合が実際より高いと推定Nは小さくなる。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜混ぜ方と抽出
袋の上部に軽い玉、下部に重い玉が偏っている。上から20個を取って色の割合を推定した。改善案を2つ挙げなさい。
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標本数だけ増やしても偏りが残る。
解答・解説
十分に混ぜて位置の偏りを減らす。各玉に番号を付け、全体から乱数で等確率に選ぶ。単に上から100個に増やすだけでは偏りの解決にならない。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜必要な換算
湖の魚80匹に標識を付ける。再捕100匹のうち8匹が標識付きだった。その後全体の10％が流出したと仮定すると、残った数の推定はいくつか。
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初めに推定し、その後の変化を適用。
解答・解説
初め80×100/8＝1000匹程度。残り1000×0.9＝900匹程度。流出が再捕後であることを確認する。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜割合の差の扱い
無作為標本100人でA案賛成52人、B案賛成48人だった。「母集団でもAが必ず多数」と言えるか。
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小さい差と標本誤差。
解答・解説
言えない。標本ではAが多いが、母集団では逆の可能性がある。より大きい無作為標本や複数回の調査で確認し、推定であることを明記する。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜誤記の訂正
100個の標本の総重量を5000gと集計し、全体2000個の重量を推定した。後で1個を55gでなく105gと誤記したと分かった。訂正後の標本平均と全体重量の推定を求めなさい。
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総重量から50g引く。
解答・解説
訂正総重量4950g、平均49.5g。全体99000g＝99kg程度。