中学数学 / 中2 / 図形と合同
図形と合同｜標準問題
8大問（小問付き）。条件を式や図に整理し、途中式や根拠も書きましょう。
問題 1｜角を文字で表す
△ABCの3内角はx＋10°、2x°、3x−10°である。xと3つの角を求めなさい。
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和を180°とする。
解答・解説
6x＝180よりx＝30。角は40°、60°、80°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜折れ線と平行線
水平で平行な2直線の間に折れ線A−P−Bがある。Pから見てAは左上、Bは左下。PAが左向きの水平線となす角は35°、PBが左向きの水平線となす角は48°。∠APBを求め、Pを通る補助線を説明しなさい。
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Pを通り元の2直線に平行な線を引く。
解答・解説
補助線の上側35°と下側48°を足して83°。平行線の錯角によって元の線上の角をPへ移せる。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜内角の和から逆算
ある多角形の内角の和は1440°。何角形か。また正多角形なら1つの内角は何度か。
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180(n−2)＝1440。
解答・解説
n−2＝8より十角形。正十角形なら1440/10＝144°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜外角の比
凸五角形の外角の比が1：2：2：3：4である。各外角と最大の内角を求めなさい。
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外角の合計360°を12等分する。
解答・解説
外角は30°、60°、60°、90°、120°。内角が最大なのは外角30°の頂点で150°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜対角線を使う合同
四角形ABCDでAB＝CD、BC＝DA。対角線ACを引いたとき△ABC≡△CDAを証明しなさい。
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ACは共通である。
解答・解説
AB＝CD、BC＝DAは仮定、AC＝CAは共通。3組の辺がそれぞれ等しいので△ABC≡△CDA。対応順に注意。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜交差する2線分
線分ABとCDがOで交わり、AO＝BO、CO＝DOとする。△AOC≡△BODを示し、AC＝BDを導きなさい。
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Oの対頂角を使う。
解答・解説
AO＝BO、CO＝DO、∠AOC＝∠BOD（対頂角）。2辺とその間の角より合同。対応する辺なのでAC＝BD。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 7｜合同条件の不足
AB＝DE、AC＝DF、∠B＝∠Eだけを用いて「2辺と1角が等しいから合同」とした。なぜ証明にならないか。
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合同条件の「その間」を確認する。
解答・解説
ABとACの間は∠A、DEとDFの間は∠D。与えられた∠Bと∠Eはその間の角ではない。一般の三角形ではこの条件だけでは合同と限らない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 8｜平行を結論にする
線分ABとCDがOで交わり、AO＝BO、CO＝DO。△AOCと△BODの合同を利用してAC∥BDを示しなさい。
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合同から錯角が等しいことを導く。
解答・解説
2辺とその間の対頂角から△AOC≡△BOD。対応する∠ACO＝∠BDO。直線CDを横切る線と見た錯角が等しいのでAC∥BD。