中学数学 / 中2 / 図形と合同
図形と合同｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を結び付け、場合分けや証明に取り組みます。
問題 1｜内角と外角の関係
正多角形で1つの内角が外角の4倍。何角形か。また対角線の総数を求めなさい。
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内角と外角の和180°。対角線は各頂点からn−3本。
解答・解説
外角をxとすると5x＝180、x＝36°。360/36＝10より正十角形。対角線は10×7/2＝35本。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜二等分線の交点
△ABCで∠A＝50°。∠Bと∠Cの内角の二等分線の交点をIとする。∠BICを求めなさい。
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△BICのB,Cの角は元の半分。
解答・解説
∠B＋∠C＝130°。∠IBC＋∠ICB＝65°だから∠BIC＝180−65＝115°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜中点と平行線による証明
△ABCでMはBCの中点。AからMへ引いた線をMの先へ延長し、ACに平行なBを通る直線との交点をDとする。AM＝DMを証明しなさい。
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△AMCと△DMBを比べる。
解答・解説
CM＝BM（中点）、∠AMC＝∠DMB（対頂角）、∠ACM＝∠DBM（平行線の錯角）。1辺とその両端の角より△AMC≡△DMB。対応する辺AM＝DM。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜角から辺へ
△ABCと△DEFで∠A＝∠D＝50°、∠B＝∠E＝60°、BC＝EF＝8cm。合同を証明しなさい。
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与えた辺BCの両端の角をそろえる。
解答・解説
∠C＝∠F＝180−50−60＝70°。BC＝EFとその両端の∠B＝∠E、∠C＝∠Fより合同。2角だけでは大きさは決まらない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜角の比と外角
△ABCで∠B：∠C＝2：3、Aの外角は120°。3つの内角を求め、正三角形でないことを説明しなさい。
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Aの外角はBとCの和。
解答・解説
B,Cを2x,3xとして5x＝120、x＝24。A＝60°、B＝48°、C＝72°。3角は等しくないので正三角形ではない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜逆は成り立つか
「2つの三角形が合同なら面積が等しい」の逆を書き、その逆が成り立たない具体例を示しなさい。
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底辺と高さの積が同じでも辺の長さは変えられる。
解答・解説
逆は「面積が等しい2つの三角形は合同」。直角をはさむ辺が3cmと4cmの三角形と、2cmと6cmの三角形はともに面積6cm²だが合同でない。後者に長さ6cmの辺があり、前者のどの辺も6cm未満。