中学数学 / 中2 / 図形と合同
図形と合同｜入試問題
6大問（小問付き）。中2までの学習内容を使う入試対策のオリジナル問題です。結果だけでなく、根拠まで説明しましょう。
問題 1｜2つの正多角形
正n角形の1つの内角は正(n＋3)角形より20°小さい。nを求めなさい。ただしnは3以上の整数。
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外角の差が20°。積を作ったら整数を試してもよい。
解答・解説
360/n−360/(n＋3)＝20よりn(n＋3)＝54。n＝6なら6×9＝54で成立。正の整数ではn(n＋3)は増え続けるので他にない。正六角形の内角120°、正九角形の内角140°で差20°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜証明の循環を見抜く
四角形ABCDでAB＝CD、BC＝DA。ある生徒は「これは平行四辺形だからAB∥CD」と書いた。平行四辺形になる条件をまだ使わず、三角形の合同からAB∥CDを証明しなさい。
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ACを共通辺とする2三角形へ戻る。
解答・解説
△ABCと△CDAで3辺がそれぞれ等しいから合同。∠BAC＝∠DCAは対応する角で等しい。錯角が等しいのでAB∥CD。結論を先に仮定してはいけない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜同じ側の点と合同
線分ABの同じ側に点P,Qがあり、AP＝BQ、BP＝AQ。線分ABの中点をMとする。△ABP≡△BAQを示し、さらにPM＝QMを証明しなさい。
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まずA,Bでの対応する角を得て、Mを含む三角形を比べる。
解答・解説
AP＝BQ、BP＝AQ、AB＝BAより3辺で△ABP≡△BAQ。よって∠PAB＝∠QBA。AM＝BM、AP＝BQ、∠PAM＝∠QBMから2辺とその間の角で△PAM≡△QBM。したがってPM＝QM。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜補助線で大きな角を求める
凸四角形ABCDで∠A＝80°、∠B＝100°、∠C＝120°。∠Aと∠Bの内角の二等分線が内部で交わる点をPとする。(1)∠D。(2)∠APB。
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四角形の角の和と△APBの角の和を別々に使う。
解答・解説
(1)360−80−100−120＝60°。
(2)∠PAB＝40°、∠PBA＝50°なので∠APB＝90°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜条件を選んで証明
△ABCと△DEFでAB＝DE、∠B＝∠Eが分かっている。追加条件①AC＝DF、②BC＝EF、③∠A＝∠Dのうち、必ず合同が言えるものをすべて選び、合同条件を説明しなさい。
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角BをはさむのはABとBC。
解答・解説
②と③。②は2辺とその間の角、③は1辺とその両端の角。①は2辺とその間ではない角で、一般には合同を保証しない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜内角の総和の変化
凸n角形の1つの頂点を、その頂点につながる2辺の途中の点を結ぶ線で切り落とす。残った多角形の内角の和は何度増えるか。もとの角が110°のとき、新しくできた2つの内角の和も求めなさい。
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頂点1個が2個になる。
解答・解説
残りは(n＋1)角形なので内角和は180°増える。新しい2角の和から古い110°を引くと180°だから、新しい和は290°。切り取る三角形の2角の和70°から360−70でも求まる。