中学数学 / 中1 / 方程式
方程式｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を整理し、解き方を組み立てる問題です。
問題 1｜追いつきと範囲
弟が分速60mで家を出て、6分後に兄が分速90mで追いかける。学校は家から1500m先。(1)兄が出てから何分後に追いつくか。(2)学校に着く前に追いつくか。
ヒントを見る
兄の時間xに対し弟はx＋6分歩く。
解答・解説
90x＝60(x＋6)、30x＝360、x＝12分。追いつく位置は90×12＝1080m。1500m未満なので学校の手前で追いつく。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜往復の時間
家と図書館の往復で、行きは分速60m、帰りは分速80m、合計35分かかった。滞在時間は含まない。片道の距離とそれぞれの時間を求めなさい。
ヒントを見る
片道x mなら時間はx/60分とx/80分。
解答・解説
x/60＋x/80＝35。240倍して4x＋3x＝8400、x＝1200m。行き20分、帰り15分。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜食塩水の混合
6％の食塩水200gに、10％の食塩水を加え、8％にする。何g加えるか。食塩と食塩水の重さを区別して式を立てなさい。
ヒントを見る
食塩の量は混ぜる前後で変わらない。
解答・解説
加える量をx gとすると12＋0.10x＝0.08(200＋x)。0.02x＝4、x＝200g。食塩32g、全体400gで8％。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜利益と値引き
原価800円の商品に定価を付け、定価の25％引きで売ったところ100円の利益が出た。定価と、定価で売った場合の利益を求めなさい。
ヒントを見る
実際の売価は原価＋利益。
解答・解説
定価x円として0.75x＝900、x＝1200円。定価販売の利益は1200−800＝400円。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜動く点と三角形の面積
長方形ABCDはAB＝6 cm、BC＝10 cmである。点PはBを出発し、辺BC上をCまで毎秒1 cmで動く。出発からx秒後を考える。
(1) BPをxで表し、点Pが辺BC上にある間のxの範囲を答えなさい。
(2) 三角形ABPの面積が18 cm²になる時刻を、方程式を作って求めなさい。
(3) そのとき、長方形から三角形ABPを除いた部分の面積と、PCの長さを求めなさい。
ヒントを見る
三角形ABPの底辺をBPとすると、高さは動かず6 cmのまま。
解答・解説
(1) BP＝x cm、0≦x≦10。
(2) 面積はx×6÷2＝3x。3x＝18よりx＝6。0≦6≦10を満たすので6秒後。
(3) 長方形は6×10＝60 cm²だから残りは60−18＝42 cm²。PC＝10−6＝4 cm。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜面積の比から動点の位置を求める
三角形ABCはBC＝12 cmで、Aから直線BCまでの高さは8 cmである。辺BC上に点Pをとり、BP＝x cmとする。
(1) 三角形ABP、APCの面積をそれぞれxで表しなさい。
(2) 三角形ABPとAPCの面積の比が2：3となるxを、方程式を作って求めなさい。
(3) 求めた位置で2つの面積を計算し、面積の和と比の両方を確かめなさい。
ヒントを見る
2つの三角形は高さ8 cmを共有する。小さい方を必ず左に置くという思い込みではなく、指定された順で比を書く。
解答・解説
(1) ABPは8x÷2＝4x cm²、APCは8(12−x)÷2＝4(12−x) cm²。
(2) 4x：4(12−x)＝2：3。外項と内項の積より12x＝8(12−x)。20x＝96、x＝24/5＝4.8。0＜4.8＜12なので辺の内部にある。
(3) 面積は19.2 cm²と28.8 cm²。和は48 cm²で、12×8÷2と一致する。比も19.2：28.8＝2：3。