中学数学 / 中1 / 方程式
方程式｜入試問題
6大問（小問付き）。中1の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。条件の読み取りと説明まで取り組みましょう。
問題 1｜速さが変わる地点を図から読む
家から1800 m先の駅へ向かい、初めは分速60 mで歩き、途中から分速150 mで走った。駅に着くまで21分かかった。図は時間と家からの道のりの関係を表す模式図である。
(1) 歩いた時間をx分として、走った時間と、それぞれの道のりをxで表しなさい。
(2) 方程式を作ってxを求め、走り始めた地点は家から何mか答えなさい。
(3) ずっと歩いた場合と比べて何分短縮したか。また、図の後半が前半より急になる理由を説明しなさい。
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時間を足して21分、道のりを足して1800 mになる。図から折れ曲がる時刻を目測しない。
解答・解説
(1) 歩いた時間はx分、走った時間は21−x分。道のりは順に60x m、150(21−x) m。
(2) 60x＋150(21−x)＝1800。60x＋3150−150x＝1800より90x＝1350、x＝15。家から60×15＝900 mの地点で走り始めた。走った時間6分、道のり900 mで合計も一致する。
(3) 全部歩くと1800÷60＝30分なので9分短縮。後半は同じ1分間に進む道のりが60 mから150 mに増えるため、時間と道のりの図では線が急になる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜代金と購入数
120円のノートと80円のペンを合わせて15個買った。合計額から10％引きされ、支払額は1404円だった。それぞれ何個買ったか。
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まず割引前の合計を求め、片方の個数をxとする。
解答・解説
割引前1404÷0.9＝1560円。120x＋80(15−x)＝1560。40x＝360、x＝9。ノート9冊、ペン6本。合計1560円の90％が1404円。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜長椅子の過不足
生徒が長椅子に4人ずつ座ると6人座れない。5人ずつ座ると椅子が2脚余り、使用した最後の1脚には3人座る。椅子と生徒の数を求めなさい。
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椅子x脚なら、5人いっぱいに座る椅子はx−3脚。
解答・解説
4x＋6＝5(x−3)＋3。4x＋6＝5x−12よりx＝18脚。生徒78人。5人×15脚＋3人で78人、空き2脚。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜食塩水から水だけ蒸発
5％の食塩水に食塩20gを加えると9％になった。(1)初めの食塩水の重さ。(2)そこから水だけ50gを蒸発させた後の濃度。
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食塩を加えると全体の重さも20g増える。
解答・解説
初めx gとして0.05x＋20＝0.09(x＋20)。0.04x＝18.2、x＝455g。追加後475g中に食塩42.75g。蒸発後425gなので42.75÷425×100＝171/17％（約10.06％）。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜誤記と正しい解
方程式3(x−a)＝2x＋5を解くとき、−aを＋aと読み違えたところx＝−7になった。(1)a。(2)正しい方程式の解。(3)正しい解を代入して確認。
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読み違えた式は3(x＋a)＝2x＋5。
解答・解説
−21＋3a＝−14＋5＝−9よりa＝4。正しい式は3x−12＝2x＋5、x＝17。左辺3×13＝39、右辺34＋5＝39。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜解の有無を説明
(1)3(x−2)＝3x＋1 (2)4(x＋2)＝4x＋8を考える。それぞれ解があるか説明しなさい。また「文字の項が消えたら解は0」という説明が誤りである理由を述べなさい。
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整理後に残る等式がいつ成り立つかを考える。
解答・解説
(1)−6＝1となり成り立たないので解はない。
(2)8＝8で常に成り立つので、すべての数が解。文字が消えることはx＝0を意味せず、残った等式の成立条件で判断する。