中学数学 / 中3 / 式の展開と因数分解
式の展開と因数分解｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の知識を組み合わせ、証明・場合分け・条件の吟味に取り組みます。
問題 2｜共通部分を作る
(x−1)(x＋3)＋(x−1)(x−5)を因数分解しなさい。
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x−1が共通。
解答・解説
(x−1){x＋3＋x−5}＝2(x−1)²。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜整数の性質を証明
連続する2つの奇数の平方の差は8の倍数であることを示しなさい。
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2n＋1と2n＋3を使う。
解答・解説
nを整数とすると(2n＋3)²−(2n＋1)²＝8n＋8＝8(n＋1)。n＋1は整数なので8の倍数。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜面積の差
1辺x＋3cmとx−3cmの2正方形がある。x＞3とする。面積の差と、差が72cm²となるxを求めなさい。
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差の平方でなく、平方の差を計算。
解答・解説
(x＋3)²−(x−3)²＝12x。12x＝72からx＝6。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜条件から式の値
x＋y＝7、xy＝10のときx²＋y²と(x−y)²を求めなさい。
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和の平方を展開する。
解答・解説
x²＋y²＝(x＋y)²−2xy＝29。(x−y)²＝(x＋y)²−4xy＝9。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜因数分解の完成
x²＋ax＋24＝(x＋b)(x＋c)が恒等的に成り立ち、b,cは正の整数、b≦c。aが最小になるb,c,aを求めなさい。
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bc＝24の組をすべて比べる。
解答・解説
(b,c)＝(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)。和は25,14,11,10。最小はb＝4,c＝6,a＝10。