中学数学 / 中3 / 式の展開と因数分解
式の展開と因数分解｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜平方の差を2回使う
(x²＋3)²−16x²を因数分解しなさい。
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x²＋3と4xの平方の差。
解答・解説
(x²−4x＋3)(x²＋4x＋3)＝(x−1)(x−3)(x＋1)(x＋3)。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜整数条件で求める
正の整数x,yでx＞y、x²−y²＝45となる組をすべて求めなさい。
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(x−y)(x＋y)＝45。2因数の和を半分にする。
解答・解説
因数の組(1,45),(3,15),(5,9)から(x,y)＝(23,22),(9,6),(7,2)。両因数が奇数なので整数になる。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜係数の読み違い
x²＋ax＋bを因数分解する際、aだけを読み違え(x＋3)(x＋4)とした。別の人はbだけを読み違え(x＋1)(x＋7)とした。正しい因数分解を求めなさい。
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1人目の定数項、2人目のxの係数は正しい。
解答・解説
b＝3×4＝12、a＝1＋7＝8。正しい式はx²＋8x＋12＝(x＋2)(x＋6)。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜式の値をまとめる
x＝√5＋2のときx²−4x＋7を求めなさい。
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(x−2)²にまとめる。
解答・解説
x²−4x＋7＝(x−2)²＋3＝5＋3＝8。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜連続する整数と積
連続する4整数の積に1を加えた数が整数の平方になることを示しなさい。
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n(n＋3)と(n＋1)(n＋2)を組にする。
解答・解説
t＝n²＋3nとすると積＋1＝t(t＋2)＋1＝(t＋1)²＝(n²＋3n＋1)²。nが整数なら中身も整数。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜長方形の枠
縦x＋4cm、横x＋8cmの長方形の内側に幅2cmの枠を作る。x＞0として枠の面積を式で表し、面積80cm²のときxを求めなさい。
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内側は両方向とも4cm短い。
解答・解説
枠＝(x＋4)(x＋8)−x(x＋4)＝8(x＋4)。8(x＋4)＝80よりx＝6。内側は6cm×10cmで条件を満たす。