中学数学 / 中3 / 二次方程式
二次方程式｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜動く2点
長方形ABCDでAB＝6cm、AD＝10cm。PはAからBへ、QはAからDへ同時に毎秒1cmで進み、PがBに着くと両方止まる。△APQの面積が8cm²となる時刻を求めなさい。
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0≦t≦6でAP＝AQ＝t。
解答・解説
t²/2＝8よりt＝±4。範囲内は4秒後だけ。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜帯と残る面積
縦12cm、横18cmの長方形から、隣り合う2辺に沿って幅x cmの帯を切り取り、残りの面積が元の半分になった。幅を求めなさい。
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重なった角を2回引かず、残る長方形で考える。
解答・解説
(12−x)(18−x)＝108。x²−30x＋108＝0からx＝15±3√13。0＜x＜12より15−3√13cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜整数解と係数
x²−kx＋12＝0の2解がどちらも正の整数となる整数kをすべて求めなさい。
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2解の積が12、和がk。
解答・解説
因数の組(1,12),(2,6),(3,4)よりk＝13,8,7。いずれも条件を満たす。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜解の条件を先に利用
x²−ax＋6＝0の2解の差が1で、2解は正である。aを求めなさい。
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小さい解をtとし、積t(t＋1)＝6。
解答・解説
(t＋3)(t−2)＝0。正よりt＝2、解は2,3。和がaなのでa＝5。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜面積から時刻を選ぶ
縦6cm横8cmの長方形で、Pは左下から右へ毎秒1cm、Qは右下から上へ毎秒1cm進む。両点は6秒で止まる。右下の頂点をBとすると、△PBQの面積が6cm²になる時刻をすべて求めなさい。
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底辺8−t、高さt。
解答・解説
(8−t)t/2＝6よりt²−8t＋12＝0、(t−2)(t−6)＝0。どちらも0≦t≦6内なので2秒後と6秒後。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜辺の条件と解の吟味
縦横の差が4cm、対角線が10cmの長方形の辺を求めなさい。式から出た解が使えるかも説明しなさい。
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短辺x、長辺x＋4として三平方。
解答・解説
x²＋(x＋4)²＝100からx²＋4x−42＝0、x＝−2±√46。正の−2＋√46のみ適切。短辺√46−2cm、長辺√46＋2cm。