中学数学 / 中1 / 正負の数
正負の数｜発展問題
8大問（小問付き）。複数の条件を整理し、解き方を組み立てる問題です。
問題 1｜条件から数を絞る
整数a、bはa＜b、a＋b＝−3、a×b＝−10を満たす。(1)a、bを求める。(2)a²−b²と(a−b)²を計算する。
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積が−10となる異符号の整数を列挙する。
解答・解説
因数の組からa＝−5、b＝2。(2)25−4＝21、(−5−2)²＝49。差の平方と平方の差は異なる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜数直線で考える絶対値と距離
数直線上の点A、Bの座標をそれぞれa、bとする。aの絶対値は4、bの絶対値は7である。
(1) a、bの組をすべて挙げ、それぞれのa＋bを求めなさい。
(2) a−bが最大になる組を求めなさい。
(3) 線分ABの長さとして考えられる値をすべて求め、原点がAとBの間にある場合との関係を説明しなさい。
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絶対値は原点からの距離。同じ側にある場合と、反対側にある場合に分ける。
解答・解説
(1) (a,b)＝(4,7)、(4,−7)、(−4,7)、(−4,−7)。和は順に11、−3、3、−11。
(2) 引く数bが小さいほど差は大きい。a＝4、b＝−7のとき4−(−7)＝11で最大。
(3) 同じ側なら距離は7−4＝3。反対側なら原点を挟むので7＋4＝11。距離は負にならないため、座標の差をそのまま長さとしない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜平均の訂正
6人の平均を計算したら62点だったが、1人の48点を84点と入力していた。正しい平均を求めなさい。また正しい得点75点の人を1人加えた7人の平均を求めなさい。
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合計を訂正してから人数で割る。
解答・解説
① 平均62点・6人から、誤った合計は62×6＝372点です。平均の数値を直接訂正せず、まず合計に戻します。
② 48点を84点と入力したので、合計を84−48＝36点多く数えています。正しい合計は372−36＝336点、平均は336÷6＝56点です。
③ 75点の人を加えると合計は336＋75＝411点、人数は7人。平均は411÷7＝58と5/7点です。56と75を足して2で割ってはいけません。56点は6人分の平均だからです。
確かめ：新たに加わった75点は元の平均56点より高いため、7人の平均は56点より高くなります。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜新しい計算規則
a★b＝a−2bと定める。(1)(−3)★4 (2)(2★(−1))★3 (3)2★((−1)★3)を求め、(2)(3)が同じか答えなさい。
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★を定義通りの式へ置き換え、内側から計算する。
解答・解説
(1)−3−8＝−11。
(2)2★(−1)＝4なので4−6＝−2。
(3)(−1)★3＝−7なので2−2×(−7)＝16。順番で結果が変わる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜連続する和
1−2＋3−4＋…＋19−20を求めなさい。さらに最後に＋21が続く場合も求め、計算の工夫を説明しなさい。
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隣り合う2項を1組にする。
解答・解説
(1−2)から(19−20)まで各組−1、10組で−10。＋21までなら−10＋21＝11。全項を順に計算する必要はない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜折り返す移動をまとめて考える
原点0から出発し、1回目は右へ1、2回目は左へ2、3回目は右へ3と進む。奇数回は右、偶数回は左へ、回数と同じ距離を進む。
(1) 10回目の移動が終わった位置を求めなさい。
(2) 10回目までに進んだ距離の合計を求めなさい。
(3) 移動が終わった位置が初めて5になるのは何回目か。奇数回の位置の規則を説明しなさい。
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2回ずつを1組にすると、位置の変化は1−2＝−1、3−4＝−1、…となる。
解答・解説
(1) (1−2)＋(3−4)＋…＋(9−10)＝−5。位置は−5。
(2) 移動距離は向きによらず足す。1＋2＋…＋10＝(1＋10)×5＝55。位置−5と移動距離55は異なる量。
(3) 1、3、5、7、9回後の位置は1、2、3、4、5。2回ごとの位置変化を使うと9回後は−4＋9＝5なので9回目。移動途中に通過した時刻ではなく、各回が終わった位置を調べている。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 7｜3枚のカードで最大・最小を説明する
−5、−2、4の3枚のカードを1回ずつ使い、a×b−cという式を作ります。
(1) cに入れる数で場合分けし、それぞれの式の値を求めなさい。
(2) 最大値と最小値、そのときのカードの入れ方を答えなさい。
(3) 式をa×(b−c)に変えた場合の最大値と最小値を求めなさい。掛ける数aごとに整理し、調べ漏れがないことを説明しなさい。
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(1)ではaとbを入れ替えても積は同じです。(3)ではbとcを入れ替えると、かっこの符号が逆になります。
解答・解説
(1) c＝−5： (−2)×4−(−5)＝−3。c＝−2： (−5)×4−(−2)＝−18。c＝4： (−5)×(−2)−4＝6。
(2) 最大値6、最小値−18。例えば最大はa＝−5、b＝−2、c＝4、最小はa＝−5、b＝4、c＝−2です。aとbを入れ替えた場合も同じ値です。
(3) a＝−5のとき、残りの差は−6または6なので値は30または−30。a＝−2のとき、差は−9または9なので18または−18。a＝4のとき、差は−3または3なので−12または12。
したがって最大値30、最小値−30です。aの選び方は3通り、それぞれbとcの順序が2通りで、全6通りを調べました。かっこを付けると計算の順序が変わり、最大・最小も変わります。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 8｜記録の訂正と平均の条件
6日間の来客数を100人との差で記録したところ、−8、＋12、−5、＋9、−10、＋8でした。ただし、3日目の「−5」は「＋5」の書き間違いでした。
(1) 訂正前と訂正後の6日間の平均を求めなさい。割り切れない場合は分数で答えてかまいません。
(2) 7日間の平均を104人以上にするには、7日目は何人以上必要ですか。
(3) 誤った記録のまま(2)を計算した答えと、正しい答えは何人違いますか。平均との差ではなく合計に着目して説明しなさい。
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−5を＋5へ直すと差の合計は10増えます。7日間の目標合計は104×7です。
解答・解説
(1) 訂正前の差の合計は−8＋12−5＋9−10＋8＝6。平均は100＋6÷6＝101人。訂正で合計が10増えて、正しい合計は606＋10＝616人。平均は616÷6＝102と2/3人です。
(2) 目標合計は104×7＝728人。したがって728−616＝112人以上です。112人なら平均はちょうど104人になり、111人では届きません。
(3) 誤った合計606を使うと728−606＝122人で、正しい答えより10人多くなります。過去6日間の合計を10人少なく見積もった分、7日目に必要な人数を10人多く見積もるからです。