中学数学 / 中1 / 正負の数
正負の数｜標準問題
10大問（小問付き）。習った知識を使い分け、途中式や根拠も書いて取り組みましょう。
問題 1｜括弧と累乗の混合
(1)−2³＋18÷(−3)×2 (2)12−{3−2×(−4)}を計算しなさい。
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乗除は左から。外側の引き算はかっこの計算後に行う。
解答・解説
(1)−8＋(−6)×2＝−20。
(2)12−{3＋8}＝1。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜分数の混合計算
(−3/4＋5/6)÷(−1/3)−1/2を計算しなさい。
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最初のかっこを12で通分しよう。
解答・解説
① かっこの中を先に計算します。−3/4＋5/6＝−9/12＋10/12＝1/12。分母をそろえると、負の量と正の量の大小が比較できます。
② −1/3で割ることを、その逆数−3を掛けることに直します。(1/12)×(−3)＝−1/4。正÷負なので負です。
③ 最後に1/2を引きます。−1/4−1/2＝−1/4−2/4＝−3/4。
注意：除法を減法より先に行います。また「−1/3で割る」を「−1/3を掛ける」にすると別の計算になります。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 3｜分配法則の使い分け
(1)(−8)×99＋(−8) (2)(5/6−3/4)×(−24)を、工夫した途中式を示して計算しなさい。
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共通の因数をくくる方法と、各項へ掛ける方法がある。
解答・解説
(1)(−8)×(99＋1)＝−800。
(2)(5/6)×(−24)−(3/4)×(−24)＝−20＋18＝−2。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜誤った計算の修正
Aさんは「18÷(−3)×2＝18÷(−6)＝−3」と計算した。最初の誤りを指摘し、正しく計算しなさい。
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掛け算だけを先にしてよいか考えよう。
解答・解説
乗除は同じ優先順位なので左から計算する。18÷(−3)＝−6、次に(−6)×2＝−12。除数を勝手に−3×2にまとめているのが誤り。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜基準からの平均
5人の得点を70点との差で表すと、＋8、−6、＋3、−10、＋5だった。5人の平均点と最高点・最低点の差を求めなさい。
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差の平均を基準70に足そう。
解答・解説
差の合計は8−6＋3−10＋5＝0なので平均70点。最高78点、最低60点、差18点。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜距離と整数
絶対値が4未満の整数をすべて書き、そのうち−2からの距離が3の数を求めなさい。
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条件を別々に調べ、両方を満たす数を選ぶ。
解答・解説
−3、−2、−1、0、1、2、3。−2から3離れた数は−5と1だが、範囲内なのは1だけ。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 7｜未知の数を逆算
ある数から−7を引くべきところを、誤って−7を足して−12になった。ある数と正しい計算結果を求めなさい。
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誤った結果から、足す前の数に戻そう。
解答・解説
ある数は−12−(−7)＝−5。正しくは−5−(−7)＝2。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 8｜符号の判断
0ではない数a、bについて、a×bは負、a＋bは正である。a、bの符号と絶対値の関係を説明し、条件を満たす整数の組を1つ挙げなさい。
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積から符号、和からどちらの絶対値が大きいかを読む。
解答・解説
異符号で、正の数の絶対値が負の数の絶対値より大きい。例：a＝5、b＝−2。積−10、和3で条件を満たす。どちらが正かまでは決まらない。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 9｜基準を変えても平均は変わらない
5袋の重さを500gとの差で表すと、A：＋12g、B：−8g、C：＋5g、D：−14g、E：＋10gでした。
(1) 5袋の平均の重さを、差を利用して求めなさい。
(2) 基準を505gに変えたとき、A〜Eの差をそれぞれ求めなさい。
(3) (2)の差を使って平均を求め、(1)と一致する理由を説明しなさい。
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実際の重さ＝基準＋差です。基準だけ5g上げると、差はそれぞれどう変わるでしょう。
解答・解説
(1) 差の合計は12−8＋5−14＋10＝5g。差の平均は5÷5＝1gなので、平均は500＋1＝501gです。
(2) A：＋7g、B：−13g、C：0g、D：−19g、E：＋5g。基準が5g大きくなるので、各差は5gずつ小さくなります。
(3) 新しい差の合計は7−13＋0−19＋5＝−20g、平均は−4g。505＋(−4)＝501gです。基準が5g増えた分、差の平均が5g減るため、実際の平均は変わりません。
検算：実際の重さの合計は512＋492＋505＋486＋510＝2505g。2505÷5＝501gです。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 10｜数直線の位置と移動距離を分ける
数直線上の点Pは−4から出発し、右へ7、左へ9、右へ3の順に移動しました。
(1) 各移動後の位置を順に答えなさい。
(2) 出発位置から最後の位置までの変化を、符号付きの数で表しなさい。また、実際に移動した距離を求めなさい。
(3) 最後の位置から出発位置へ戻るには、どちらへいくつ動けばよいですか。
(4) 「最後の位置の絶対値が、出発してから移動した距離である」という説明の誤りを述べなさい。
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位置は符号付きで計算し、移動距離は動いた長さをすべて足します。
解答・解説
(1) −4＋7＝3、3−9＝−6、−6＋3＝−3。順に3、−6、−3です。
(2) 変化は(−3)−(−4)＝＋1。最初より右へ1の位置です。一方、移動距離は7＋9＋3＝19です。途中の行き戻りも距離に含みます。
(3) 出発位置−4は最後の位置−3より1左なので、左へ1です。
(4) 最後の位置の絶対値3は、原点0から最後の位置までの距離です。出発位置は原点ではなく、途中で折り返しているので、総移動距離19とは一致しません。