中学数学 / 中1 / 正負の数
正負の数｜入試問題
8大問（小問付き）。中1の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。条件の読み取りと説明まで取り組みましょう。
問題 1｜得点の条件整理
10問の小テストで、正解は＋5点、不正解は−2点、無解答は0点。無解答が2問で、合計26点だった。(1)すべて解答した8問が不正解なら何点か。(2)正解と不正解の数を求める。
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不正解1問を正解に変えると7点増える。
解答・解説
(1)−2×8＝−16点。
(2)26−(−16)＝42点増える必要があり、42÷7＝6問正解。不正解2問。30−4＝26で確認できる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 2｜表の逆算
3×3の表の各行・各列・2本の対角線の和を0にする。1行目は1, −6, 5、2行目は空欄, 0, 空欄、3行目は空欄, 空欄, 空欄。空欄をすべて埋め、求めた順番を説明しなさい。
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対角線で左下と右下が先に決まる。
解答・解説
右下−1、左下−5。中央列から下中央6。左列から中左4、右列から中右−4。完成は［1,−6,5］［4,0,−4］［−5,6,−1］。各行・列・対角線の和は0。
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この単元の授業で確認する問題 3｜平均と未知の記録
5日間の来客数を100人との差で表すと−12、＋8、a、−6、＋15だった。5日平均は103人。(1)aを求める。(2)平均を105人以上にするには、6日目に何人以上必要か。
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基準からの差の合計は、平均との差×日数。
解答・解説
(1)差の合計は3×5＝15。既知の差は5なのでa＝10。
(2)5日合計515。6日平均105には630必要なので、6日目115人以上。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 4｜積の符号の論証
0でない数a、b、cについてab＜0、bc＞0、a＋b＝0である。(1)acの符号。(2)a＝−4のときa−b÷cの符号は必ず決まるか。具体例を示して答える。
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bとcは同符号、aとbは異符号。第2問ではbも決まる。
解答・解説
(1)aとcは異符号なので負。
(2)b＝4、c＞0。b÷c＞0なので−4から正の数を引き、必ず負。例c＝2なら−6。cがいくつかを知らなくても符号は決まる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 5｜カードで最大化
−6、−2、3、5のカードを1回ずつ使って、(a−b)×(c−d)を作る。最大値を求め、調べ方も説明しなさい。
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2組への分け方は3種類。各組の差の絶対値の積を比較する。
解答・解説
① 4枚を2組に分けます。−6の相手は−2、3、5の3通りしかないので、この3通りを調べればすべての組分けを確認できます。
② {−6,−2}と{3,5}では差の絶対値は4と2で、積の最大は8。{−6,3}と{−2,5}では9と7で63。{−6,5}と{−2,3}では11と5で55です。
③ どの組分けでも、引く順を選ぶことで2つの差を両方正、または両方負にできます。したがって、それぞれの絶対値の積を正の値として実現できます。
最大値は63。例：(3−(−6))×(5−(−2))＝9×7＝63。最大の差11だけを作っても、残りの差が5になるため最大にはなりません。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 6｜操作を逆にたどる
ある整数に−3を掛け、6を足し、その結果を−2で割ったら−12になった。(1)整数を求める。(2)「6を足す」を「6を引く」に変えると結果はいくつか。(3)結果が変わる理由を説明する。
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最後の割り算から逆順に戻す。
解答・解説
(1)−12×(−2)＝24、24−6＝18、18÷(−3)＝−6。
(2){(−6)×(−3)−6}÷(−2)＝12÷(−2)＝−6。
(3)割る前の値が12小さくなり、−2で割るため結果は6大きくなる。
この問題で必要な知識
この単元の授業で確認する問題 7｜得点表から可能な結果をすべて求める
12問のテストで、正解は＋5点、不正解は−2点、無解答は0点です。合計得点は32点でした。
(1) 「無解答は2問だった」という記録は正しいといえますか。解答した問題がすべて不正解だった場合から考え、理由を説明しなさい。
(2) 無解答の数がわからないとき、正解・不正解・無解答の組をすべて求めなさい。
(3) (2)でほかの組がない理由を、不正解の数と正解の数に着目して説明しなさい。
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正解数を決めると、5×正解数から32を引いた値が、不正解による減点の大きさになります。正解数は7問以上です。
解答・解説
(1) 解答した10問がすべて不正解なら−20点です。1問を不正解から正解へ変えると7点増えるので、(32−(−20))÷7＝52÷7となり整数になりません。したがって、無解答2問という条件では32点を取れません。
(2) 正解が6問以下だと、減点がなくても30点以下なので不可能です。7問なら減点は35−32＝3点で、2点ずつの減点では作れません。8問なら減点8点なので不正解4問、無解答0問。9問なら減点13点で不可能です。10問なら不正解9問が必要となり、12問を超えます。
答えは「正解8問、不正解4問、無解答0問」の1組です。検算：8×5−4×2＝32、8＋4＋0＝12。
(3) 11問・12問正解では、不正解が入る残りの枠が1問・0問しかなく、得点を32まで下げられません。7〜12問の各場合を調べたので、漏れはありません。条件によっては答えが存在しない、と判断することも大切です。
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この単元の授業で確認する問題 8｜数直線上の2地点までの距離の和
数直線上にA(−5)、B(3)があり、点Pは整数の位置を動きます。
(1) Pが−7、−2、5にあるとき、PA＋PBをそれぞれ求めなさい。PA、PBは距離を表します。
(2) PA＋PB＝8となるPの位置をすべて求めなさい。
(3) PA＋PB＝14となるPの位置をすべて求めなさい。
(4) PA＋PBが8より小さくなることがない理由を、PがAとBの間にある場合と、その外側にある場合に分けて説明しなさい。
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ABの長さは8です。PがAの左側に出たときは、AからPまでの分を行きと帰りの2回分足すことになります。
解答・解説
(1) P＝−7ではPA＝2、PB＝10で和12。P＝−2ではPA＝3、PB＝5で和8。P＝5ではPA＝10、PB＝2で和12です。距離は負になりません。
(2) −5、−4、−3、−2、−1、0、1、2、3の9個です。AとBの間ではPAとPBを合わせた長さがAB＝8になります。端の点でも、一方の距離が0なので和は8です。
(3) 外側へ出た分の長さをdとすると、和は8＋2×dです。14−8＝6、6÷2＝3なので、Aより左へ3の−8、またはBより右へ3の6です。検算は3＋11＝14、11＋3＝14。
(4) 間にあれば和は8。外側にあれば8に正の長さの2倍を加えるので8より大きくなります。位置をこの3つの範囲に分けると、8未満になる場合はありません。