中学数学 / 中2 / 三角形と四角形
三角形と四角形｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の条件を結び付け、場合分けや証明に取り組みます。
問題 1｜二等辺三角形内の角追い
△ABCでAB＝AC、∠A＝36°。辺AC上にBD＝BCとなる点Dを取り、DはCと異なる。∠ABDを求めなさい。
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△BCDの底角D,Cを先に求める。
解答・解説
∠ABC＝∠BCA＝72°。BD＝BCだから∠BDC＝∠BCD＝72°で、∠DBC＝36°。よって∠ABD＝72−36＝36°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜平行四辺形と中点
平行四辺形ABCDでEはABの中点、FはCDの中点。DE＝BFを証明しなさい。
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△DAEと△BCFを比べる。
解答・解説
DA＝BC、AE＝CF（AB＝CDの半分）、∠DAE＝∠BCF（平行四辺形の対角）。2辺とその間の角より△DAE≡△BCF。よってDE＝BF。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜ひし形になる条件
平行四辺形ABCDで対角線AC⊥BD。交点Oを使い、AB＝ADを示してひし形であると証明しなさい。
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直角三角形AOBとAODの2辺を比較。
解答・解説
BO＝DO、AO共通、∠AOB＝∠AOD＝90°より2辺とその間の角で合同。AB＝AD。平行四辺形の対辺も等しいから4辺が等しく、ひし形。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜垂線の長さ
AB＝ACの△ABCの内部に点Pがあり、∠BAP＝∠PAC。PからAB、ACへ下ろした垂線の足をE,Fとする。PE＝PFを証明しなさい。
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直角三角形AEPとAFPは斜辺を共有する。
解答・解説
∠AEP＝∠AFP＝90°、AP共通、∠EAP＝∠FAP。直角三角形の斜辺と1つの鋭角より合同。よってPE＝PF。AB＝ACはこの結論には使わなくてもよい。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜三角形の面積を半分に
△ABCの辺BCの中点をMとする。辺AB上に点Pを取り、PからBCに平行な線を引いてACとの交点をQとする。「PMとQMの長さが等しいから△BPMと△CQMの面積も等しい」と言えるか。正しい根拠で面積を比較しなさい。
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底辺BM,CMと、P,QからBCまでの高さを見る。
解答・解説
面積は等しい。BM＝CMで、PQ∥BCなのでP,QからBCまでの高さが等しいため。PM＝QMは一般には成り立たず、斜辺の長さによる説明は誤り。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜面積と動点
平行四辺形ABCDの面積は60cm²。点Pは辺CD上にあり、CP：PD＝2：3。△APDと△APBの面積を求めなさい。
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△ACDは全体の半分。CDを底辺に見る。
解答・解説
△ACD＝30cm²、PD/CD＝3/5なので△APD＝18cm²。△APBは底辺ABと高さが一定で30cm²。