中学数学 / 中2 / 三角形と四角形
三角形と四角形｜入試問題
6大問（小問付き）。中2までの学習内容を使う入試対策のオリジナル問題です。結果だけでなく、根拠まで説明しましょう。
問題 1｜2段階の合同
平行四辺形ABCDで対角線の交点をOとする。OA上にP、OC上にQをOP＝OQとなるように取り、P,QはOと異なる。BP＝DQとBP∥DQを証明しなさい。
ヒントを見る
△BOPと△DOQを比較する。
解答・解説
BO＝DO、OP＝OQ、∠BOP＝∠DOQ（対頂角）より2辺とその間の角で合同。BP＝DQ、∠BPO＝∠DQO。この2角は直線ACを横切る線とする錯角なのでBP∥DQ。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜等積変形で四角形を三角形へ
凸四角形ABCDで対角線ACを引く。Dを通りACに平行な直線と、辺BCをCの先へ延長した直線の交点をEとする。四角形ABCDと△ABEの面積が等しいことを示しなさい。
ヒントを見る
△ACDと△ACEを比べる。
解答・解説
△ACDと△ACEは底辺ACが共通でD,EはACに平行な同一直線上にあるため高さが等しく等積。共通の△ABCを加えると四角形ABCD＝△ABE。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜二等辺と外角
△ABCでAB＝AC、∠A＝40°。辺ABをBの先へ延長し、BD＝BCとなる点Dを取る。∠BDCと∠ACDを求めなさい。
ヒントを見る
△BCDはBを頂角とする二等辺三角形。
解答・解説
∠ABC＝70°、∠CBD＝110°。BC＝BDより∠BDC＝∠BCD＝35°。CでCBはCAとCDの間にあるので∠ACD＝70＋35＝105°。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜正方形の回転を合同で読む
正方形ABCDの内部に点Pを取り、△ABPをAのまわりに、BがDへ移る向きに90°回転した点をQとする。AP＝AQ、BP＝DQを示し、∠PAQと△APQの面積を求めなさい。ただしAP＝6cm。
ヒントを見る
回転で長さと角は保たれる。
解答・解説
回転でAはA、BはD、PはQに移るので△ABP≡△ADQ。AP＝AQ＝6、BP＝DQ、∠PAQ＝90°。△APQの面積は6×6/2＝18cm²。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜正方形を保証する条件
平行四辺形の対角線について、①長さが等しい、②垂直に交わる、③互いの中点で交わる、がある。正方形を保証するには①②③のうちどれを追加すればよいか。必要な組を挙げ、片方だけでは足りない理由も述べなさい。
ヒントを見る
平行四辺形なら③はすでに成立。
解答・解説
①と②を合わせる。①で長方形、②でひし形となり両方を満たすので正方形。①だけなら縦横の違う長方形、②だけなら直角でないひし形が反例。③を追加しても情報は増えない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜面積比から位置を決める
平行四辺形ABCDの面積は72cm²。Pは辺CD上で、△APDの面積が△APBの面積の2/3になる。DP：PCを求めなさい。さらに△BPCの面積を求めなさい。
ヒントを見る
△APBと△ADCはどちらも36cm²。
解答・解説
△APD＝24cm²。共通の高さよりDP/DC＝24/36＝2/3、DP：PC＝2：1。△BPCは底辺PC＝CD/3、高さは全体と同じなので72×(1/3)×(1/2)＝12cm²。