中学数学 / 中2 / 三角形と四角形
三角形と四角形｜標準問題
8大問（小問付き）。条件を式や図に整理し、途中式や根拠も書きましょう。
問題 1｜頂角の二等分線
AB＝ACの△ABCで、∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。BD＝CDとAD⊥BCを証明しなさい。
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△ABDと△ACDを比べる。
解答・解説
AB＝AC、AD共通、∠BAD＝∠CADより2辺とその間の角で合同。よってBD＝CD、∠ADB＝∠ADC。一直線上の2角の和180°なので各90°、AD⊥BC。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜図の条件は両立するか
△ABCでAB＝AC、∠A＝40°。辺BC上に、AD＝BDを満たす点Dは存在するか。内角の大きさから説明しなさい。
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△ABDのAとBの角は等しい。端点B,Cも確認する。
解答・解説
DがBCの内部なら∠ABC＝70°、AD＝BDから∠BAD＝∠ABD＝70°となり、∠A＝40°より大きくなるので不可能。D＝BならAD＞0、BD＝0で不可。D＝CでもAB＝AC＝BCなら正三角形になってしまう。したがって存在しない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜角から二等辺を発見
△ABCで∠A＝40°、∠B＝70°。AからBCへ垂線ADを下ろした。BD＝CDを示しなさい。
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まず∠Cを求める。
解答・解説
∠C＝70°なのでAB＝AC。直角三角形ABDとACDで斜辺AB＝AC、AD共通より合同。よってBD＝CD。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜平行四辺形の条件
四角形ABCDでAB∥CDかつAB＝CDである。対角線ACを用いて平行四辺形であることを示しなさい。
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もう1組の対辺の平行を導く。
解答・解説
△BACと△DCAでAB＝CD、AC共通、∠BAC＝∠DCA（錯角）より合同。∠BCA＝∠DACからBC∥AD。2組の対辺が平行なので平行四辺形。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜文字を含む対辺
平行四辺形ABCDでAB＝3x−2、CD＝x＋6、BC＝2y＋1、DA＝y＋5（単位cm）。x,yと周の長さを求めなさい。
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対辺ごとに等式を作る。
解答・解説
3x−2＝x＋6よりx＝4、2y＋1＝y＋5よりy＝4。辺10cmと9cmなので周38cm。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜長方形になる理由
平行四辺形ABCDの対角線がAC＝BDである。この四角形が長方形であることを、△ABCと△BADの合同から示しなさい。
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BC＝ADとAB共通を使う。
解答・解説
AC＝BD、BC＝AD、AB共通より3辺で合同。∠ABC＝∠BAD。隣り合う角の和180°だから各90°。よって長方形。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 7｜等積変形
平行四辺形ABCDでABを底辺とした高さが6cm、AB＝8cm。辺DC上に点Pを取る。△ABPの面積と、Pを動かしたときの変化を答えなさい。
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PからABまでの高さは一定。
解答・解説
面積8×6/2＝24cm²。PがDC上なら高さが6cmなので面積は変わらない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 8｜条件の見分け
「対角線が垂直な四角形はひし形である」は正しいか。正しくなければ、対角線の長さや交点を使って反例を説明しなさい。
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垂直でも互いの中点とは限らない。
解答・解説
誤り。ACとBDがOで垂直に交わりAO＝1、OC＝3、BO＝DO＝2の四角形は、対角線が互いの中点で交わらないので平行四辺形でなく、ひし形でもない。