中学数学 / 中3 / 円
円｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の知識を組み合わせ、証明・場合分け・条件の吟味に取り組みます。
問題 1｜弦の交点の角
円周上にA,B,C,Dがこの順にあり、弦ACとBDの交点をPとする。小さい弧ABの中心角が70°、小さい弧CDが50°。∠APBを求めなさい。
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△ABPのA,Bの角を弧から求める方法も使える。
解答・解説
∠APBは弧ABと弧CDの中心角の和の半分で60°。証明は∠PAB＝弧BC/2、∠PBA＝弧AD/2より、180−(弧BC＋弧AD)/2＝(70＋50)/2。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜接線の角
外部の点Pから円Oへ引いた接線PA,PBが∠APB＝50°をなす。小さい中心角∠AOBを求めなさい。
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四角形OAPBのA,Bは90°。
解答・解説
∠AOB＝360−90−90−50＝130°。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜二等辺と円周角
円に内接する△ABCでAB＝AC、∠BAC＝44°。B,Cを結ぶ小さい弧BCに対する中心角と、∠ABCを求めなさい。
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Aの円周角が見込む弧の大きさは88°。
解答・解説
小さい中心角88°、底角(180−44)/2＝68°。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜垂線の足の4点
△ABCでBからACへの垂線の足をD、CからABへの垂線の足をEとする。D,Eは各辺の内部。B,C,D,Eが同一円周上にあることを示しなさい。
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∠BDCと∠BECを考える。
解答・解説
両角90°なのでD,EはBCを直径とする円上にある。よって4点は同一円周上。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜外部の2割線
円の外部の点Pから2本の割線を引き、近い順にA,BとC,Dで円と交わる。PA＝3、PB＝12、PC＝4。相似を使いPDを求めなさい。
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△PADと△PCBの相似からPA×PB＝PC×PD。
解答・解説
Pの角は共通。∠PDA＝∠PBCは同じ弧ACに対する円周角なので相似。PA：PC＝PD：PBより3×12＝4PD、PD＝9。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜対角と角の比
円に内接する四角形ABCDで∠A：∠C＝2：3、∠B：∠D＝4：5。4つの角を求めなさい。
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各対角の和を180°にする。
解答・解説
A＝72°、C＝108°。B＝80°、D＝100°。