中学数学 / 中3 / 円
円｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜交わる弦の長さ
円の内部で弦ABとCDがPで交わる。PA＝3、PB＝8、PC＝4。PDを求め、使う相似を説明しなさい。
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△APCと△DPBを比較。
解答・解説
∠APC＝∠DPB（対頂角）、∠ACP＝∠DBP（弧ADの円周角）より相似。PA：PD＝PC：PBなのでPA×PB＝PC×PD。PD＝6。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜接線と割線
円の外部の点Pから接線PTと割線PABを引く。Aが近い交点でPA＝4cm、AB＝5cm。PTを求めなさい。PT²＝PA×PBを用いてよい。
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PB＝PA＋AB。
解答・解説
PB＝9cm、PT²＝4×9＝36よりPT＝6cm。ABだけを掛けない。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜2つの直角から証明
鋭角三角形ABCでB,Cからの垂線の足をD,Eとする。∠ADE＝∠ABCを証明しなさい。
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B,C,D,Eは同一円周上。A,D,Cは一直線。
解答・解説
∠BDC＝∠BEC＝90°より4点は同一円周上。内接四角形BEDCのDの外角∠ADEは対角∠EBCに等しい。EはAB上なので∠EBC＝∠ABC。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜円と座標
原点Oを中心とする半径5の円上にA(3,4)がある。Aでの接線とx軸の交点をPとする。OPとPAを求めなさい。
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OA⊥AP。接線は傾き−3/4。
解答・解説
接線y−4＝−(3/4)(x−3)。y＝0からP(25/3,0)、OP＝25/3。PA²＝OP²−OA²＝625/9−25＝400/9よりPA＝20/3。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜正多角形を判定
円周上に等間隔で並ぶ正n角形の頂点A,B,Cがこの順に連続している。∠ACB＝15°である。nを求め、1つの内角も求めなさい。
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弧ABの中心角は360/n。
解答・解説
円周角180/n＝15よりn＝12。内角180−360/12＝150°。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜角と長さの総合
ABを直径とする円の周上にCを取り、∠CAB＝30°、AB＝12cmとする。BC、AC、△ABCの面積を求めなさい。
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30°・60°・90°の直角三角形。
解答・解説
BC＝6cm、AC＝6√3cm。面積6×6√3/2＝18√3cm²。