中学数学 / 中2 / 連立方程式
連立方程式｜入試問題
6大問（小問付き）。中2までの学習内容を使う入試対策のオリジナル問題です。結果だけでなく、根拠まで説明しましょう。
問題 1｜周回コース
1周1200mのコースを2人が一定の速さで走る。同地点から反対向きなら4分後、同じ向きなら20分後に初めて出会う。速い人と遅い人の分速を求めなさい。
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反対向きは速さの和、同じ向きは差。
解答・解説
4(x＋y)＝1200、20(x−y)＝1200。和300、差60よりx＝180m/分、y＝120m/分。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜水槽と2本の管
空の水槽を給水管だけなら20分で満水にできる。給水と排水を同時に使うと30分で満水になり、給水量は毎分12Lだった。水槽の容量と排水量を求め、満水から排水だけなら何分か答えなさい。
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容量と排水量を未知数にし、2通りの満水条件を作る。
解答・解説
容量x L、排水y L/分としてx＝20×12、x＝30(12−y)。x＝240,y＝4。排水だけなら240/4＝60分。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜人数と団体料金
大人800円、子ども500円の入場料で、合計20人の通常料金は12400円。団体扱いで大人10％引き、子ども20％引きとなる。(1)人数。(2)団体での総額と値引き額。
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通常料金から人数を決め、別々の割引率を適用する。
解答・解説
x＋y＝20、800x＋500y＝12400より大人8人、子ども12人。総額720×8＋400×12＝10560円、1840円引き。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜2回の濃度変更
6％の食塩水と12％の食塩水を合わせて400g作り、そこから水だけ40g蒸発させると10％になった。初めに混ぜた量をそれぞれ求めなさい。
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食塩36gは蒸発前にも含まれている。
解答・解説
x＋y＝400、0.06x＋0.12y＝360×0.10＝36。x＝200g,y＝200g。蒸発前9％、蒸発後10％。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜条件付きの係数
ax＋2y＝7、3x−y＝0の解がx＋y＝4を満たす。x,y,aを求めなさい。またa＝−6なら元の連立方程式の解はあるか。
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3x−y＝0と追加条件を先に使う。
解答・解説
y＝3x、4x＝4よりx＝1,y＝3。a＋6＝7よりa＝1。a＝−6では第1式が−6x＋2y＝7だが第2式から左辺は0となり矛盾。解なし。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜平均から人数を推定
A班の平均は68点、B班は80点、全体は75点で計24人。各班の人数を求めなさい。その後A班の記録1人分が10点低く誤記されていたと分かった。訂正後の全体平均も求めなさい。
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平均×人数を足して全体の合計にする。
解答・解説
x＋y＝24、68x＋80y＝75×24。A10人、B14人。訂正で合計が10増え、平均75＋10/24＝75と5/12点。