中学数学 / 中3 / 二次方程式
二次方程式｜発展問題
6大問（小問付き）。複数の知識を組み合わせ、証明・場合分け・条件の吟味に取り組みます。
問題 1｜置き換えて解く
(x＋1)²−3(x＋1)−10＝0を解きなさい。
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x＋1＝tと置く。
解答・解説
(t−5)(t＋2)＝0からt＝5,−2。x＝4,−3。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜同じ幅の道
縦10m、横16mの長方形の土地の内側全周に同じ幅の道を作り、残りの面積が96m²になった。道幅を求めなさい。
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内側の2辺は10−2xと16−2x。
解答・解説
(10−2x)(16−2x)＝96。x²−13x＋16＝0。x＝(13±√105)/2。0＜x＜5なので(13−√105)/2 m。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜値引きと売上
1個200円で30個売れる品を、10円値下げするごとに販売数が2個増えるとする。売上6160円は実現できるか。できる場合は値下げ回数を求めなさい。
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値下げ回数xは0以上の整数。
解答・解説
(200−10x)(30＋2x)＝6160よりx²−5x＋8＝0。(x−5/2)²＋7/4＝0となり、平方は0以上なので実数解はなく、この売上は実現しない。最大付近x＝2,3でも6120円。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜箱の容積
1辺x cmの正方形の紙の四隅から1辺2cmの正方形を切り、折って高さ2cmの箱を作る。容積72cm³となるxを求めなさい。
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底面は(x−4)cmの正方形。
解答・解説
2(x−4)²＝72よりx−4＝±6。x＞4なのでx＝10cm。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜2つの式が共通の解
x²−3x−4＝0とx²＋ax＋2＝0が共通の解を持つ。aをすべて求めなさい。
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第1式の解4,−1をそれぞれ代入。
解答・解説
x＝4なら16＋4a＋2＝0よりa＝−9/2。x＝−1なら1−a＋2＝0よりa＝3。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜条件による解の個数
(x−3)²＝kについて、実数解が2個・1個・0個となるkの条件を答えなさい。
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平方は0以上。
解答・解説
k＞0で2個、k＝0で1個（x＝3）、k＜0で0個。