中学数学 / 中2 / 一次関数
一次関数｜発展問題
12大問。変化の割合・グラフ・式・交点・変域・面積を順に確かめます。
問題 1｜条件から増加量を比較
一次関数y＝ax＋bで、xが−1から5へ増えるとyが9減る。またx＝2でy＝4である。a,bと、yが10から1に減るときのxの増加量を求めなさい。
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yの増加量は−9。
解答・解説
a＝−9/6＝−3/2。4＝−3＋bよりb＝7。最後はΔx＝(1−10)/(−3/2)＝6。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜平均の速さと各区間
家からの距離が出発時0m、4分後320m、6分後320m、10分後800mだった。各区間では一定の速さとする。区間ごとの変化の割合と、出発から10分までの平均の速さを求めなさい。
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休止区間も経過時間に含める。
解答・解説
0〜4分は80m/分、4〜6分は0m/分、6〜10分は120m/分。全体は800/10＝80m/分。区間の速さを単純に3で割るのではなく、全距離÷全時間を使う。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜グラフの平行移動
直線y＝3x−2を上へ5だけ平行移動した式と、右へ2だけ平行移動した式をそれぞれ求めなさい。
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右への移動では新しいxに対し元のxはx−2。
解答・解説
上へ5はy＝3x＋3。右へ2はy＝3(x−2)−2＝3x−8。右へ動かすと切片は2増えるわけではない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜通る象限
直線y＝−2x＋6が通る象限をすべて挙げ、通らない象限について符号を使って説明しなさい。
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x＜0ならyはどうなるか。
解答・解説
第1・第2・第4象限を通る。x＜0ならy＝−2x＋6＞0なので第3象限を通らない。x＞3ならy＜0で第4象限。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜軸と平行な直線も含める
A(2,−3),B(2,5),C(−4,5)を結ぶ直線AB、BC、CAの式を求めなさい。
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縦の直線はy＝ax＋bでは表せない。
解答・解説
ABはx＝2。BCはy＝5。CAの傾き(−3−5)/(2＋4)＝−4/3。5＝16/3＋bよりb＝−1/3。CAはy＝−(4/3)x−1/3。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜料金を式にする
タクシー料金をこの問題では距離に対して一定の割合で増える一次関数とする。2kmで980円、5kmで1700円だった。式と3.5kmの料金を求め、現実の料金との違いを述べなさい。
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基本料金はx＝0の値。
解答・解説
傾き(1700−980)/3＝240円/km。y＝240x＋500。3.5kmでは1340円。実際の料金は一定距離ごとの段階的な加算などがあり、この連続したモデルと異なることがある。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 7｜3本が1点で交わる条件
y＝2x−1、y＝−x＋8、y＝ax＋2が1点で交わるaを求めなさい。
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最初の2本で交点を確定する。
解答・解説
2x−1＝−x＋8よりx＝3、y＝5。5＝3a＋2よりa＝1。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 8｜交わらない場合を含む
y＝2x＋3とy＝ax−1について、(1)交点がないa、(2)交点のx座標が2になるa、(3)同じ直線になるaがあるかを答えなさい。
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傾きが同じときと異なるときを分ける。
解答・解説
(1)a＝2で平行。
(2)交点のy＝7なので7＝2a−1、a＝4。
(3)ない。切片3と−1が異なるため同じ直線にはならない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 9｜傾きの符号が未定
y＝ax＋bで−1≦x≦3のとき2≦y≦10となる。a＞0の場合とa＜0の場合の式をそれぞれ求めなさい。
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端点の対応が符号で逆になる。
解答・解説
a＞0では(−1,2),(3,10)を通りy＝2x＋4。a＜0では(−1,10),(3,2)を通りy＝−2x＋8。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 10｜2つの条件を同時に
y＝3x−2で、−1≦x≦4かつ1≦y≦7を満たすxの範囲を求めなさい。
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yの条件をxへ直し、元の範囲と重ねる。
解答・解説
1≦3x−2≦7から1≦x≦3。この範囲は−1≦x≦4に含まれるので答えは1≦x≦3。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 11｜面積を二等分する直線
A(0,0),B(8,0),C(2,6)の△ABCを、Cを通る直線で面積二等分する。直線の式を求めなさい。
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AB上の中点を通れば底辺が半分。
解答・解説
ABの中点M(4,0)を通る。CMの傾き(0−6)/(4−2)＝−3、y＝−3x＋12。共通の高さで底辺AM＝MBだから等積。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 12｜2通りの位置
A(0,2),B(0,8)を固定し、Pは直線y＝x＋1上を動く。△ABPの面積が12cm²になるPをすべて求めなさい。1目盛り1cm。
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高さはPのx座標の絶対値。
解答・解説
AB＝6より6|x|/2＝12、|x|＝4。x＝4,−4。Pは(4,5),(−4,−3)の2点。
この問題で必要な知識
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基本・標準・発展・入試問題を組み合わせた、追加練習用の混合50問です。